数学模型建模方法及应用

从广义上讲，数学模型是指针对或者参照某种事物系统或过程（这是数学模型的原型，是我们分析、说明数学模型方法的基础和背景）的特征及数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构．

从这个意义上讲，数学中的概念、公式、定理、各个数学分支都是数学模型．它们都是对客观存在的数量规律、数量关系以及空间形式的合理的数学刻画与模拟反映．

具体来讲，数学模型是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量关系和数量规律的数学公式、图形或算法．数学模型作为一种方法有如下的特征：数学模型方法是对现实中的一个特定的对象、系统，为了某种特定的目的，根据其内在的规律、联系，进行必要的简化、假设、增减、特殊化、一般化等，并运用合适的数学工具，得到一个适当的数学问题，然后对其进行求解、分析、验证和扩展等．

建立数学模型的一般方法和步骤如下．

步骤1　模型准备．

首先必须了解问题的客观实际背景．因为数学建模实际上是要做某种实际工作，是要运用数学方法进行求解、分析、论证，因此必须了解实际的工作过程，这是进行数学建模的重要依据和指南．要清晰地知道所研究系统的组成成分、对象、事物、现象，以及由它们组成的某些局部子系统，完整地掌握系统或者事物运动、变化、操作的全过程和各个局部过程，能充分地想象出系统和过程可能的全部形态、形式，直到总过程的所有可能的结果、经过的各个环节及最终的存在状态．还要知道总过程下可能的某些子过程和局部过程．

其次，必须明确问题的目标，也就是必须想象出所要解决问题的可能的结果形式和可能的状态，明确最后结果的数据形式．如某些潜在可选数值的最大值或最小值、某种函数变量、某种数列、某种函数方程或微分方程或差分方程、某种矩阵、某种图形等．也就是说，应当动态地把问题的客观过程、系统，清晰地在大脑中反映出来，知道求什么？要分辨什么？明确问题的条件和各种可以利用的数据信息．

要根据问题的目标，确定必须知道的各种数据信息，并给予适当的技术处理，即做数据变换，以便于应用．这样我们才能选择适当类型的数学模型，并对其进行表达、描述，形成规范的数学结构和问题．

步骤2　模型假设．

根据对象的特征和建模目的，我们能大致确定建立的模型类型．但是由于出发点不同，或者观察对待问题的角度和方面的不同，因此引用的数学概念、数学理论也会不同，有时甚至可能是完全不同的数学概念．不管采用什么样的模型，都要求它尽可能地接近实际状况，同时也要求能够利用现有的数学工具，进行方便地求解．而这取决于问题的条件和目标，因此需要对模型的构成做出合理的、科学的假设．

模型假设是对系统中的有关成分和事物的存在形态、几何形状、所处的环境等设定出比较特殊的情况，如对称化、几何形状特殊化、直线化、有限化、等分化等．而对于过程则可以使其均匀化、线性化、规律化等．模型假设有时体现出我们设想出来的一种理想形态，这种理想形态往往需要参考我们已经掌握的数学理论，对问题背景进行特殊化理解和处理；有时需要将系统分解为若干子系统和局部系统，将过程分解为若干子过程．

进行模型假设时要注意它的合理性和适度性，如果假设得太特殊，所建立的模型会与实际情形相差太大，也不容易进行模型的推广和使用，因此我们可以循序渐进地从特殊到一般进行假设．

模型假设是数学建模非常重要的一个环节，它本身就是对系统或过程的全面认识，是客观情况的某种近似或抽象形态．在建模过程中应当循序渐进，从最简单的情况入手，逐步近似、逼近实际情形．在充分利用全部各种数据的基础上，对问题进行适当地分化、分段、分类，尽量进行准确的数据计算、对比，根据每一类数学模型的特点：模型要达到的认识目的，需要的条件、问题的基本形式，最后的结果形式等，能做多少就做多少，但是需要不断改进模型的精确度，使所建立的数学模型能够更好地符合实际事物系统的内在构成和相互关系、规律．

步骤3　模型构成与建立．

有了模型分析和模型假设以后，就要将实际问题表示成准确的数学问题形式，形成明确完整的数学模型，这就是模型构成．模型的构成要根据对象的内在规律、相互联系、平衡关系、递推规律、条件限制、总和表示等构造出各种量（变量和常量）之间的等式及不等式关系，或者其他结构形式，有时可以把若干等式关系统一成矩阵等式或方程组形式等．另外，还要充分利用有关专业领域中的规律、原理、性质等来分析和建立等式及不等式．

模型构成中更重要的是确定求解目标的形式，将目标用具体数学形式表现出来，如求某类状态的最大值或最小值问题．首先确定某种数值的变化过程即函数，并对某组对象进行分类，找出某些变量之间的对应关系，求出某类对象的数目，最后进行因素的差异性分析，找出影响目标的主要因素，并进行某种合理性及满意度分析等．

明确了上述过程，我们才能选择恰当的数学模型来对应表示，进而提出问题，形成数学模型．数学模型的构成要依赖于相关的数学概念、数学理论和数学问题．实际上在进行模型分析和假设时就已经确定了所要建立的数学模型的类型，现在要做的就是将其用具体的数学形式表示．一般情况下，要用已有的概念形式来表示，问题的表述要规范、清晰，如果遇到新问题、新现象，也需要创造性地引进新概念、新方法．

步骤4　模型计算．

模型构造完成以后，就需要进行求解、分析、论证．模型的计算可以利用已建立的公式、定理，通过计算机编程进行计算、模拟，也可以利用数学软件计算，如MATLAB、LINGO、SAS、Mathematica等．

模型计算是数学模型方法中极为重要的环节．实际上，建立模型的目的就是算出某些数值、某些取值规律或取值范围等．同时，通过试算，也能够发现模型的准确程度、有效性，在不断的修改中完善数学模型，启发建模的思路．在模型计算过程中，对于那些问题庞大、数据繁多的问题，可以进行灵活的处理．(https://www.xing528.com)

（1）非线性问题先进行线性化处理，再利用线性计算工具进行计算．

（2）将问题进行分层、分解处理：分解为若干个小型的、特殊的、可以利用已有公式计算的形式．

（3）将连续变量转化为离散变量进行计算．

（4）舍去次要因素，将变化不大的变量常数化，将几何形状对称化特殊化，从而进一步简化模型，得到初步粗略的近似结果．

（5）方法的移植．有时可以仿照使用其他领域内的方法、思想，并给出一定创造性的处理手段．

（6）指标的平均化处理．对于需要全面体现的量化数据指标，可以进行平均化处理，即用平均值来替代．

（7）经验数据的科学化处理．与时间有关的数据经常需要改造成时间密度形式，即单位时间内的数量指标；与坐标、几何对象有关的数据也要进行密度化处理，即建立在单位长度、面积、体积下的数量指标．这样往往可以先进行离散阶梯化，再进行拟合连续化．有时还要对数据进行标准化即单位化处理，以便于比较．

模型计算需要扎实的数学理论基础．从实际问题抽象出来的数学形式经常过于复杂，需要进行恰当地集中简化、形式化简、形式分解等处理，有时还要用到很多的数学技巧，也要用到一些专门的数学公式、计算方法、表示形式．有时为了计算、论证某些特殊的数量关系、几何特征、变化规律、表示形式，可能要做出一些猜测，且必须对这些猜测进行论证，这就需要非常扎实的数学论证能力，能够创造性地引入一些重要因素、数学概念，进行论证分析．另外，还需要具备较为宽广的理论基础，能同时利用多个数学分支的数学知识、思想、方法来综合计算．

步骤5　模型结果分析．

在得到数学模型的计算结果后，还需要进行结果分析，这是非常必要的．因为我们建立模型的目的就是解决实际问题，所以求出或论证的结果应当符合实际，或者尽量符合实际．因此需要针对实际问题原型的条件，分析所建立的模型是否符合实际情况．

检验的方法如下：

（1）从特殊情形来检验．

（2）根据对问题本身的机理来分析，判断结果是否合理．

（3）做一些试验进行计算机模拟，做出结果的直观显示，动态地分析结果的准确性、科学性．

（4）对原来的问题分析其在条件减少或增加以后，所得结果是否合理，从而来检验原模型的合理性．

（5）对于原来的总过程取其某个阶段进行分析、检验，必要时还要计算大量的具体数据，或考虑无穷趋势，从而来检验模型．

步骤6　模型的推广和使用．

对于建立的模型，为了能够解决更一般条件下的实际问题，需要尽可能地将模型进行推广．推广的方式有，将原来局部问题推广至整体范围；将原来某个阶段的问题推广到跨度更大的时间内考虑；将原来考虑的若干情形添加更多的个体进行考虑；改变原来问题的背景、假设、数据形式．模型的推广还包括对原来的模型进行更多的性态分析，考虑更深层次的属性、特征，以期可以解决更多的问题．