例1 互付工资问题
现有一个木工，一个电工和一个油漆工，他们相互装修自己的房子，有协议如下：
（1）每人总共工作10天（包括在自己家干活），
（2）每人的日工资根据一般的市价在60～80元，
（3）日工资数应使每人的总收入与总支出相等，
求每人的日工资.
解 分析问题并建立模型.
以x 1表示木工的日工资，以x 2表示电工的日工资，以x 3表示油漆工的日工资.木工的10个工作日总收入为10x 1，木工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为：2天、1天、6天，则木工的总支出为2x 1+x 2+6x 3.由于木工的总支出与总收入要相等，于是木工的收支平衡关系可描述为2x 1+x 2+6x 3=10x 1.
同理，可以分别建立描述电工及油漆工各自的收支平衡关系的两个等式：
联立三个方程得方程组：
整理，得三人的日工资数应满足的齐次线性方程组：
解方程组
最后，由于每个工人的日工资在60～80元，故选择k=72，以确定木工、电工及油漆工每人每天的日工资：x 1=62，x 2=64，x 3=72.
结果分析
求解齐次线性方程组并不是太困难，根据工作天数的分配方案表建立线性方程组也比较容易，这类问题的关键是要设计合理的工作天数分配方案表，使得最后计算出的每一个工人的日工资数基本上均等，或相差不是太大，同时还要与市价的日工资基本上相符合.(www.xing528.com)
例2 加密问题
密码法是一种信息编码与解码的技巧.下面就是使用代码子表和可逆矩阵加密将要转换的信息的实际操作过程.
首先，用一系列数字代表特定的字母，如下图为一个最基本的代码子表.
假设我们要发送一条信息：braised pork，使用上述代码，则应发送：2，18，1，9，19，5，4，0，17，15，18，11.这种编码很容易编解，但也很容易被截获者破译.为此我们选取一个密钥矩阵（即只有信息交流双方才知道的矩阵A）要求密钥矩阵可逆，且矩阵的行列式值为±1.
例如选取矩阵A
将发送信息单词的编码转化成一个矩阵（矩阵B），矩阵B的大小要依据矩阵A设定，即要使AB运算合法.
矩阵B应为3×4矩阵，即
则C=AB
矩阵C就是把对应信息加密完成的矩阵.
这样我们应发送的信息为：21，-1，19，33，-4，24，21，13，17，44，-4，29.使用此法，若截获者不知转换矩阵，就很难破译截获的信息.
利用上述编译方法，如果我们从通讯处收到的信息为：21，-1，19，33，-4，24，21，13，17，44，-4，29，将怎样把它译为英文呢.
若要破解收到的信息，需要知道密钥矩阵（矩阵A）的逆矩阵.本例中破解该矩阵的方式即为上述加密过程的逆过程.即已知矩阵C，求矩阵B的过程.
这里就体现了密钥A可逆的重要性，若A不可逆，则A逆不存在，加密后的矩阵将无法破解.
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