在前面我们定义了两个矩阵等价的概念，若A经若干次初等变换得到B，则A与B等价，即A～B.那么，等价的矩阵之间有什么内在联系呢？矩阵的秩数即揭示了等价矩阵之间的共同特性，它是矩阵的一个非常重要的内在属性.
定义8 在m×n阶矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行、列交叉处的k 2个元素（不改变它们在A中所处的位置次序）所构成的k阶行列式，称为A的k阶子式.
当A的所有元素都是零时，A的任何子式都必然是零.当A中有一个元素不为零时，A中至少有一个1阶子式非零，再看A的所有2阶子式，如果有非零的子式，再看A的所有3阶子式.这样下去，如果A至少有一个非零的r阶子式，而A的所有r+1阶子式都是零.也即是A的最高阶非零子式的阶数为r，r揭示矩阵A的内在特性.
定义9 在m×n阶矩阵A中，若非零子式的最高阶数为r，则称r为矩阵A的秩数，记为R（A）=r.
故R（A）=2.
由定义可知：
（1）若A是零矩阵，则R（A）=0；
（2）若A是m×n阶非零矩阵，则1≤R（A）≤min（m，n）；
（3）R（A）=r⇔A中至少有一个非零的r阶子式，而A的所有r+1阶子式（如果存在的话）都是零；
（4）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.(www.xing528.com)
定理5 等价的矩阵有相同的秩.
此定理为我们提供了求矩阵秩数的方法如下：
先利用初等行变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵B，再根据B的秩数等于其非零行的行数，即求得R（B）.又知A～B，所以，R（A）=R（B）.
B是行阶梯形矩阵，其非零行数为2，即得R（B）=2.
再由定理得R（A）=R（B）=2.
特别地，当R（A）=m时，称A为行满秩矩阵；当R（A）=n时，称A为列满秩矩阵.
当A是n阶方阵，又R（A）=n时，称A为满秩矩阵.
可见，单位矩阵是满秩矩阵.
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