矩阵初等变换-职业基础数学

定义5 下面三种对矩阵的变换，统称为矩阵的初等行变换.

（1）互换矩阵中两行的位置.如果第i，j两行互换，记为ri↔rj.

（2）用任意数k≠0去乘矩阵的第i行，记为kri.

（3）把矩阵的第i行的k倍加于第j行，其中k为任意数，记为kri+rj.

注：将定义5中的“行”换成“列”，就是矩阵初等列变换的定义，分别记为ci↔c j（i，j两列互换）；kci（用任意数k≠0去乘矩阵的第i列）；kci+cj（第i列的k倍加于第j列，数k≠0）.

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.

最后这个矩阵我们称为行最简形矩阵，其特点是：

（1）它满足行阶梯形矩阵特征，是一个行阶梯形矩阵；

（2）它每行中首位非零元素是1，而且首位非零元素所在列除1外其他元素都是零.(www.xing528.com)

对于矩阵的初等变换有以下几点说明：

（1）初等行变换可将任意m×n阶矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.

（2）初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不等，所以，一般要用“→”来连接变换前后的矩阵.

（3）三种初等行变换都是可逆的.即经变换后的矩阵再施以同类型的变换又会回到原矩阵.

定义6 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，那么称A与B等价，记为A～B.如果A n是可逆矩阵，那么A n经过有限次初等变换可化成单位矩阵E n，所以A n～E n.

等价矩阵具有下列性质：

（1）A～A；（2）若A～B，则B～A；（3）若A～B，B～C，则A～C.

从而得A～E 3.