【摘要】：形如的微分方程叫做一阶线性微分方程，其中P（x），Q（x）都是自变量x的已知函数.所谓“线性”指的是（1）式中的未知函数y及其导数y′都是一次式.（1）当Q（x）≡0，（1）式变为叫做一阶线性齐次微分方程.方程是可分离变量的微分方程，分离变量得积分得即（2）若Q（x）≠0，方程（1）式叫做一阶线性非齐次微分方程.因为一阶线性齐次方程是一阶线性非齐次方程的特殊情况，所以可以设想把一阶线性齐次方程的通
形如
的微分方程叫做一阶线性微分方程，其中P（x），Q（x）都是自变量x的已知函数.所谓“线性”指的是（1）式中的未知函数y及其导数y′都是一次式.
（1）当Q（x）≡0，（1）式变为
叫做一阶线性齐次微分方程.
方程是可分离变量的微分方程，分离变量得
积分得
即
（2）若Q（x）≠0，方程（1）式叫做一阶线性非齐次微分方程.因为一阶线性齐次方程是一阶线性非齐次方程的特殊情况，所以可以设想把一阶线性齐次方程的通解中的常数C换成函数C（x），即y=C（x）e-∫p（x）d x作为一阶线性非齐次方程的通解.
下面就假定y=C（x）e-∫p（x）d x是一阶线性非齐次方程的通解，C（x）是待定函数.
把假定解代入方程得
整理得
积分得
把C（x）代入假定解中，即得一阶非齐次线性方程的通解
该方法称为常数变易法.由于该通解作为公式不易记忆，因此不背公式，根据推理过程，即利用常数变易法来求解一阶线性非齐次微分方程.
例6 求微分方程y′+y=e-x的通解.
解 方法一 常数变易法
先求齐次方程y′+y=0的通解，分离变量得(www.xing528.com)
两端积分得
即
再设y=C（x）e-x为原方程的解，代入原方程得
即
积分得
故所求方程的通解为
因为P（x）=1，Q（x）=e-x，所以通解为
即
再设y=C（x）sin x为原方程的解，
代入原方程得
整理得
故所求方程的通解为
例8 求一曲线方程，此曲线通过原点，并且它在点（x，y）处的切线斜率等于2x-y.
解 根据导数的几何意义，有
此方程为一阶线性非齐次方程，因P（x）=1，Q（x）=2x，所以通解为
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
