微分方程的概念与应用

定义1 含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.

未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程.如前面实例1中的（1）式和实例中（4）式都是常微分方程.本模块我们只介绍常微分方程的一些初步知识及简单应用，有时就简称为微分方程（或方程）.

在一个微分方程中，未知函数的导数的最高阶数，叫做微分方程的阶.

用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.初始条件的个数与微分方程的阶数相同.

例如，例1中的2=12+C就是初始条件，例2中的s（0）=0，s′（0）=0是初始条件.

求微分方程满足初始条件的解问题称为初值问题.

微分方程解的图形称为此方程的积分曲线.由于通解中含有任意常数，所以微分方程的通解的图像是具有某种共同性质的一族曲线，称为微分方程的积分曲线族.其特解的图形是根据初始条件而确定的积分曲线族中的某一条特定的积分曲线.

例3 试写出下列各微分方程的阶.

(3)y″+2y′+y=0；(4)y(4)+y 6+x 8=0.(www.xing528.com)

解 （1）一阶微分方程；（2）一阶微分方程；

（3）二阶微分方程；（4）四阶微分方程.

解 因为 y=C 1 cos 2x+C 2 sin 2x，所以

将上面各式代入原方程y″+4y=0的左端，得

故已给函数满足方程y″+4y=0，是它的解.由于有两个任意常数C 1，C 2，因此这个解又是微分方程的通解.

将初始条件代入上面两式中，求得

所以y″+4y=0满足初始条件的特解是