画法几何中平面与曲面立体的相交

平面体和曲面体相交（相贯），所得的交线是由若干段平面曲线或若干段平面曲线和直线段组成的空间闭合线。每段平面曲线是平面体的某一棱面与曲面体相交的截交线。两段平面曲线的交点称为转折点，它是平面体的棱线与曲面体的交点。由此可见，求平面体与曲面体的交线，可归结为求平面与曲面体的截交线和直线与曲面体的交点。

【例7.15】如图7.23所示，求一直立圆柱和一四棱柱的表面交线（相贯线）。

【解】分析：①圆柱的水平投影有积聚性，四棱柱的侧面投影有积聚性，故相贯线的水平投影和侧面投影均为已知。

②四棱柱贯入、贯出圆柱，故相贯线为两组。

③根据水平投影图左右、前后对称，可知两组相贯线也左右、前后对称，各组均由上下、前后4段椭圆弧所组成。

投影作图：如图7.23（b）所示。

图7.23　直圆柱与四棱柱相贯

①先求特殊点：由水平投影和侧面投影知四棱柱上棱线与圆柱的贯穿点A、A0，前方棱线与圆柱的贯穿点C（由于棱柱上下、前后对称，故只画出可见贯穿点即可），求出A、A0、C三点的正面投影a′、a′0、c′。

②再求一般点：在四棱柱的侧面积聚投影上取一般点B、B0，利用点B、B0在圆柱面上的素线和属于四棱柱表面这一特性，求出其在正面投影上的投影b′。根据对称性求出B0点的对称投影b0′；最后将其依次连接，求出相贯线的正面投影。根据对称性，补画完整正面投影的中相贯线的右侧投影。该相贯体的立体图如图7.24所示。

图7.24　直圆柱与四棱柱相贯立体图

图7.25　圆柱穿一四棱柱通孔

注意：该四棱柱是一正四棱柱，柱面与圆柱轴线成45°夹角，因此相贯线的正面投影的圆弧是一个与圆柱等直径圆的一部分。如果将四棱柱沿棱线方向抽出，则成为直立圆柱贯一矩形棱柱孔，其投影如图7.25所示。水平投影中的虚线是四棱柱孔的四条棱线的水平投影。该四棱柱孔的正面投影由上下两段椭圆弧线围成，中间的虚线仍为四棱柱孔的四条棱线的投影。

【例7.16】如图7.26（a）所示，求直圆柱与四棱锥的交线。

图7.26　圆柱与四棱锥相贯

【解】分析：①圆柱的水平投影有积聚性，四棱锥的正面投影和侧面投影无积聚性，故相贯线的求解首先要从圆柱的积聚投影入手。从立体的几何特性我们可以判断，直圆柱与四棱锥的相贯线可以在水平投影中找出，即圆柱的积聚投影。

②圆柱与四棱锥为互贯，故相贯线为一组。

③根据水平投影图左右、前后对称，可知相贯线也左右、前后对称，由4段圆弧线组成。(https://www.xing528.com)

投影作图：如图7.26（b）所示。

①将四棱锥4条棱线与圆柱的贯穿点用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示在水平投影面上，即1、2、3、4点。求出这4个点的正面投影和侧面投影。

②将直圆柱4条特殊素线用Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ表示在水平投影面上，即7、8、9、10点。求出这4个点的正面投影和侧面投影。

③在水平投影上取一般点Ⅴ、Ⅵ点，即5、6点。这两点是左右对称的，这样方便我们求解一般点的投影。根据投影原理可求出以上各点的正面投影和侧面投影。最后将其依次连接，求出相贯线的正面投影和侧面投影。

【例7.17】求三棱柱与半圆球的交线，如图7.27（a）所示。

图7.27　半球与三棱柱相贯

【解】分析：①观察投影图具有左右对称性，故其相贯线也是左右对称的。

②平面和球的截交线为圆，故知相贯线由3段圆弧所组成，转折点属于三棱柱的3根棱线。

③三棱柱的H投影有积聚性，故相贯线的H投影为已知。

投影作图：如图7.27（b）所示。

①棱面AC为正平面P1，P1与半球相交于线段1、3，这段截交线的最高点为D，弧线k′1的V投影反映了该位置截交线的实形，截交线为圆弧1′3′。A棱的V投影a′，C棱的V投影c′和半圆弧k′1的交点1′、3′就是A棱和C棱与半球的相贯点Ⅰ、Ⅲ的V投影。

②AB棱面Q倾斜于V面，故与半球的交线圆的V投影为椭圆弧。图中，B棱与半球的相贯点Ⅱ的V投影2′，由B棱的V投影与辅助正平面P2和球的交线圆的V投影k′2相交而得。点Ⅳ是V投影椭圆弧可见与不可见的分界点，由水平中心线（即球的V投影轮廓线的H投影）和积聚线段ab的交点4向上作垂线到圆球的V投影轮廓线上即得4′。在H投影图上，由球心o引ab的垂线得垂足6。过6点作辅助正平面P，在正投影中画出其交线圆k′，再由点6向上作垂线到V投影图上，即得到6′。6′即是这段圆弧的V投影成椭圆长半轴的端点，也是该圆弧的最高点。其余的点（如点Ⅷ）是用正平面P3为辅助面求得的。连接1′4′6′8′2′得棱面AB和球的交线圆的V投影。点2′就是B棱线与半球的相贯点Ⅱ的V投影。

③棱面BC和球的交线圆的V投影3′5′7′9′2′与1′4′6′8′2′对称，可同时求得。

④判别可见性：圆弧1′3′属于不可见的棱面AC和球面，画为虚线。椭圆弧1′4′和3′5′属于不可见的球面，画为虚线。椭圆弧4′6′8′2′和5′7′9′2′属于可见的棱面和球面，画为实线。还应注意，棱线a′和c′靠近1′和3′的一小段被球面遮住，应画为虚线。

经过整理后，完成的三面投影如图7.27（c）所示。

如果将图7.27中的三棱柱抽出，则成为半球贯一三棱柱孔，其投影图如图7.28所示。其作图方法并无不同，只是虚实线有些变动。V投影图中的3根铅垂虚线是3个铅垂面交线的投影，W投影图中右边的铅垂虚线是左右两铅垂面交线的投影，左边上实下虚的铅垂线是后面的正平面的投影。

图7.28　半球贯一三棱柱通孔