画法几何：平面与圆柱相交技巧

平面截割圆柱，其截交线因截平面与圆柱轴线的相对位置不同而有不同的形状。当截平面平行或通过圆柱轴线时，平面与圆柱面的截交线为两条素线，而平面与圆柱体的截交线是一矩形，如图7.9（a）所示；当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线是一个直径与圆柱直径相等的圆周，如图7.9（b）所示；当截平面倾斜于圆柱轴线时，截交线为椭圆，该椭圆短轴的长度总是等于圆柱的直径，长轴的长度随着截平面对圆柱轴线的倾角不同而变化，如图7.9（c）所示。

图7.9　平面截割圆柱的直观图及投影图

【例7.4】如图7.10（a）所示，已知圆柱切割体的正面投影和水平投影，补出它的侧面投影。

【解】分析：圆柱切割体可以看作圆柱被正垂面P切割而得。正垂面P与圆柱轴线斜交，其截交线为椭圆。椭圆的长轴平行于正立投影面，短轴垂直于正立投影面，椭圆的正面投影与PV重合，其水平投影与圆柱的水平投影重合。所以截交线的两个投影均为已知，可用已知两投影求第三投影的方法，作出截交线的侧面投影。

投影作图：如图7.10（b）所示。

①求特殊点：即求椭圆长、短轴的端点Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ。PV与圆柱正面投影轮廓素线的交点1′、2′，是椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅱ的正面投影；PV与圆柱最前、最后素线的正面投影的交点3′、4′是椭圆短轴端点Ⅲ、Ⅳ的正面投影，由此求出长短轴端点的侧面投影1″、2″、3″、4″。

②求一般点：为了使作图准确，还需要再求出属于截交线的若干个一般点。例如，在截交线正面投影上任取一点5′，由此求得V点的水平投影5和侧面投影5″。由于椭圆是对称图形，故可作出与V点对称的Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ点的各投影。

③连点：在侧投影上用光滑的曲线依次连接各点，即得截交线的侧面投影。

④判别可见性：由图中可知，截交线的侧面投影均为可见。

从例7.4可知，截交线椭圆的侧面投影一般仍是椭圆。椭圆长、短轴在侧立投影面上的投影，仍为椭圆投影的长、短轴。当截平面与圆柱轴线的夹角α小于45°时，如图7.10所示，椭圆长轴的投影，仍为椭圆侧面投影的长轴。而当夹角α大于45°时，椭圆长轴的投影，变为椭圆侧面投影的短轴。当α=45°时，椭圆长轴的投影等于短轴的投影，则椭圆的侧面投影成为一个与圆柱底圆等大的圆。（读者可自行作图）

(www.xing528.com)

图7.10　正垂面与圆柱的截交线

【例7.5】如图7.11（a）所示，求平面P与斜圆柱的截交线（素线法）。

【解】分析：斜圆柱被正垂面P切割。斜圆柱柱面的V、H投影无积聚投影，故其截交线上的一般点的求解只能用素线法来求解。

投影作图：如图7.11（b）所示。

①求特殊点：即求椭圆长、短轴的端点Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ（前后两条素线上的特殊点都以Ⅱ点表示）。PV与圆柱正面投影轮廓素线的交点1′、3′，是椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅲ的正面投影；PV与圆柱最前、最后素线的正面投影的交点为2′，由此求出长短轴端点的水平投影1、2（注意前后共有两个点）和3。

②求一般点：为了使作图准确，还需要再求出属于截交线的若干个一般点。例如，在截交线正面投影上任取一点4′。4′是椭圆上一般点的正面投影，我们采用对称的方式来求解Ⅳ点在H面上4个位置上的投影。根据椭圆是对称图形，可作出41、42、43、44四个点。

图7.11　平面P与斜圆柱的截交线

③连点：在H投影面上用光滑的曲线依次连接各点，即得截交线的水平投影。

④判别可见性：由图中可知截交线以短轴为分界线，左半部分为可见，右半部分为不可见。