画法几何与阴影透视-圆锥体形成与投影

1）形成

由直角三角形（SAO）绕其一直角边（SO）为轴旋转运动的轨迹称为圆锥体，如图7.3（a）所示。另一直角边（AO）旋转运动的轨迹是垂直于轴的底圆；斜边（SA）旋转运动的轨迹是圆锥面。SA称为母线，母线在圆锥面上任一位置称为素线。圆锥面是无数多条素线的集合。圆锥由圆锥面和底圆围成。锥顶（S）与底圆之间的距离称为圆锥的高。

图7.3　圆锥体的形成与投影

2）投影

（1）安放位置

如图7.3（b）所示，将圆锥体的轴线垂直于H面，则底圆平行于H面。

（2）投影分析[如图7.3（b）]

H面投影：为一个圆。它是可见的圆锥面和不可见的底圆投影的重合。

V面投影：为一等腰三角形。它是可见的前半圆锥和不可见的后半圆锥投影的重合，其对应的H面投影是前、后半圆；对应的W面投影是右、左半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底面的积聚投影；两腰（s′a′和s′b′）是圆锥最左、最右素线（SA和SB）的投影，也是前、后半圆锥的分界线。

W面投影：为一等腰三角形。它是可见的左半圆锥和不可见的右半圆锥投影的重合，其对应的H面投影是左、右半圆；对应的V面投影是左、右半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影；两腰（s″c″和s″d″）是圆锥最前、最后素线（SC和SD）的投影，也是左、右半圆锥的分界线。

（3）作图步骤[如图7.3（c）]

①画轴线的三面投影（o，o′，o″）。过o作中心线，轴和中心线都画点画线。(www.xing528.com)

②在H面上画底圆的实形投影（以O为圆心、OA为半径）；在V、W面上画底圆的积聚投影。

③画锥顶（S）的三面投影（s、s′、s″），由圆锥的高定s′、s″。

④画出转向轮廓线，即画出最左、最右素线的V面投影（s′a′和s′b′）；画出最前、最后素线的W面投影（s″c″和s″d″）。

3）圆锥表面取点

【例7.2】如图7.4（a）所示，已知圆锥上一点M的V面投影m′（可见），求m及m″。

【解】分析：由于m′可见，且在轴o′左侧，可知M点在圆锥面的前、左部分。由于圆锥面的3个投影都无积聚性，所缺投影不能直接求出，可利用素线法和纬圆法求解。利用素线法，过锥顶S和已知点M在圆锥面上作一素线S1，交底圆于1点，求得S1的三面投影，则M点的H、W面投影必然在S1的H、W面投影上。利用纬圆法，过M点作垂直于圆锥轴线的水平圆（其圆心在轴上），该圆与圆锥的最左、最右素线（SA和SB）相交于Ⅱ、Ⅲ点，以ⅡⅢ为直径在圆锥面上画圆，则M点的H、W面投影必然在该圆H、W面投影上，如图7.4（b）所示。

投影作图：如图7.4（c）所示。

①素线法：连接s′m′并延长交底圆的积聚投影于1′；由1′向下作垂线交H面投影中圆周于1，连接s1；由m′向下作垂线交s1于m，由Y1和利用“高平齐”关系求得m″。

②纬圆法：过m′作平行于OX轴方向的直线，交三角形两腰于2′、3′，线段2′3′就是所作纬圆的V面积聚投影，也是纬圆的直径；再以2′3′为直径在H面投影上画纬圆的实形投影；由m′向下作垂线，与纬圆前半部分相交于m，由m′、m及Y1得m″。

③判别可见性：由于M点位于圆锥面前、左部分，故m、m″均可见。

图7.4　圆锥体表面上取点