两平面立体相交：简易作图方法

从图5.15可看出：两平面立体相交产生的空间折线或平面多边形的各线段，是两平面立体相关表面产生的交线，折线的顶点是两平面立体相关棱线与表面的交点。所以，求两平面立体相交的相贯线问题，实质上是求直线（棱线）与平面（立体表面）的交点及求两平面（立体表面）交线的问题。

相贯线连线原则：属于某立体同一表面，同时也属于另一立体同一表面上的两点才能相连。

相贯线可见性判别原则：相贯线上的线段只有同时属于两立体可见表面上时，才为可见，否则为不可见。

当求出属于相贯线上的点之后，按照上述原则连接得到相贯线。应当注意：两立体贯穿后是一个整体，相贯线既是两立体表面共有线，也是两立体表面的分界线，立体表面的棱线只能画到相贯线处为止，不能穿入另一立体中，如图5.15所示。

图5.15　两平面立体相交

【例5.10】如图5.16（a）所示，求两三棱柱的相贯线。

【解】分析：从图5.16（a）可看出，两三棱柱为互贯，三棱柱ABC的棱线垂直于H面，它的水平投影abc具有积聚性，故属于其上的相贯线的水平投影为已知；又三棱柱DEF的棱线垂直于W面，它的侧投影d″e″f′具有积聚性，故属于其上的相贯线的侧投影也为已知。只需求出相贯线的正投影，即可完成两三棱柱相交的投影。

作图：如图5.16（b）所示。

①三棱柱ABC的水平投影具有积聚性，可以确定它与三棱柱DEF的交点1、2、（3）、（4）、5、（6）；三棱柱DEF的侧投影具有积聚性，也可以确定它与三棱柱ABC的交点1″、（2″）、3″、（4″）、5″、6″。

②相贯线各点的正投影和侧投影Ⅰ（1、1″）、Ⅱ（2、2″）、Ⅲ（3、3″）、Ⅳ（4、4″）、Ⅴ（5、5″）、Ⅵ（6、6″）均已知，即可求出它们的正投影1′、3′、3′、4′、5′、6′。

③根据相贯线的连线原则，从任一点开始，按Ⅰ→Ⅴ→Ⅱ→Ⅳ→Ⅵ→Ⅲ→Ⅰ的顺序连线。在图5.16（b）的正投影中，将它们的同名投影相连，即得相贯线的正投影，为封闭的空间折线。

④判定可见性。根据相贯线上的线段，只有同时属于两立体可见表面时才可见的原则，在图5.16（b）的正投影中，判断1′5′、2′5′、3′6′、4′6′线段为可见；1′3′、2′5′线段为不可见，完成相贯线的可见性判定。同时，判断出三棱柱ABC的AA棱线、BB棱线被遮住部分不可见，完成两三棱锥相交后的投影。

图5.16　两三棱柱相交

若相交的两立体一个为实体一个为虚体，相贯线的求解方法与两实体相交时完全相同。如图5.16（d）所示，可看成将三棱柱DEF沿水平方向抽出（形成虚体）。应注意相贯线可见性与图5.16（c）的变化，以及新出现的虚线。

【例5.11】如图5.17（a）所示，求三棱锥与四棱柱相交后的投影。

【解】分析：

①四棱柱的4条棱线均正垂线，故其正投影具有积聚性，属于四棱柱表面的相贯线的正投影为已知。

②从正投影观察，四棱柱完全贯穿三棱锥，为全贯；从水平投影观察，四棱柱“穿入”“穿出”三棱锥，所以相贯线有前后两组。

③三棱锥的底面是水平面，四棱柱上下表面为水平面，左右表面为侧平面。它们相交后产生的相贯线，将分别属于四棱柱的水平及侧平表面上。

④投影图左右对称，所以相贯线也是左右对称的。

作图：如图5.17（b）所示，分别采用辅助线法和辅助面法。

①辅助线法：要求四棱柱DD棱线与三棱锥表面的交点，可利用DD棱线正投影的积聚性，连s′d′到q′，s′q′为三棱锥SAB表面上过I点的一辅助线。按投影关系求出sq、s″q″，其上的1、1″即为贯穿点Ⅰ的两个投影。同理，可求出贯穿点Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的投影。又有棱线SB与四棱柱上下表面的交点J、K，便求出了相贯线上各点的投影。

②辅助面法：要求三棱锥表面与四棱柱表面的交线，可作包含四棱柱上表面DDEE平面的水平面PV及包含四棱柱下表面GGFF平面的水平面RV，与三棱锥相交产生截交线△IJK和△LMN。这两组交线分别与四棱柱的4条棱线相交于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ点，同时与三棱锥SB棱线交于J、M点，便求出了相贯线上各线段的投影。

③根据相贯线的连线原则，可得三棱锥与四棱柱全贯后前、后两部分的相贯线，前面为封闭的空间折线，后面为封闭的平面多边形。它们的侧投影具有积聚性和重影性。

④判定可见性。根据同时属于两立体可见表面的相贯线线段才可见的原则，判断属四棱柱上表面的相贯线段为可见，属于四棱柱下表面的相贯线为不可见。同时，判断两立体相交后，三棱锥底面被四棱柱遮住部分的投影可不见，如图5.17（c）所示。(www.xing528.com)

如图5.17（d）所示为一个实体的三棱锥，被一虚体的四棱柱相贯穿后（将四棱柱沿水平方向抽出）的投影图。其作图方法与上述相同，注意对比两种情况下相贯线可见性、三棱锥可见性的变化及新出现的虚线。

【例5.12】如图5.18（a）所示，求正六棱柱被一个三棱柱穿孔后的投影。

【解】分析：从正六棱柱被穿孔的正投影和正六棱柱具有积聚性的水平投影可以看出，正六棱柱被穿孔后，前后、左右均是对称的。前面孔口是正三棱柱的3个棱面与正六棱柱的左前、前、右前3个侧表面产生的交线，分别为ⅠⅡ、ⅡⅢ、ⅢⅣ、ⅣⅤ、ⅤⅥ、ⅥⅦ、ⅦⅠ。交线的正投影为已知，交线的水平投影积聚在正六棱柱的水平投影中（在前面）；后面孔口为正三棱柱的3个棱面与正六棱柱的左后、后、右后3个侧表面产生的交线，分别为Ⅰ0Ⅱ0、Ⅱ0Ⅲ0、Ⅲ0Ⅳ0、Ⅳ0Ⅴ0、Ⅴ0Ⅵ0、Ⅵ0Ⅶ0、Ⅶ0Ⅰ0。前后两组交线具有对称性，如它们的正投影重影，水平投影积聚正六棱柱的水平投影中（在后面）。

作图：如图5.18（c）所示。

图5.17　三棱锥与四棱柱相贯

①确定出前面孔口所产生的相贯线上各点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的正投影1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′；后面孔口所产生的相贯线上各点与之对称，有1′0、2′0、3′0、4′0、5′0、6′0、7′0。

②这14个点分别属于正六棱柱前后6个侧表面，正六棱柱各表面的水平投影具有积聚性，从而确定出这14个点的水平投影。

③相贯线上各点的水平投影和正投影均已知，便可求出相贯线上各点的侧面投影。

④根据相贯线的连线原则，并对照正投影和水平投影，进行相贯线侧面投影的连线：1″→2″→3″→4″→5″→6″→7″→1″及1″0→2″0→3″0→4″0→5″0→6″0→7″0→1″0。

⑤判断可见性。正六棱柱被正三棱柱穿孔，所以穿入正六棱柱内部的棱线均不可见，应画成虚线。

图5.18　求正六棱柱被正三棱柱穿孔后的相贯线

【例5.13】如图5.19（a）所示，求三棱锥与正四棱锥相交后的投影。

【解】分析：

①三棱锥的正投影具有积聚性，所以，属于三棱锥表面的相贯线的正投影已知。

②通过对题目的观察可知道，三棱锥完全贯穿正四棱锥，且“穿入”“穿出”正四棱锥，所以相贯线应有各自独立的前后两组。

③两相贯体前后具有完全的对称性，所以，前后两组各自独立的相贯线也是对称的。

作图：采用辅助平面法求解，如图5.19（b）所示。

①在正投影中，包含三棱柱底面（水平面）作辅助平面PV，它与正四棱锥产生一平行于四棱锥底边截交线，其中有效交线为前面部分Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ、后面部分Ⅰ0→Ⅱ0→Ⅲ0。由正投影1′（10′）→2′（20′）→3′（30′）求出水平投影1（10）→2（20）→3（30）和侧投影1″（10″）→2″（20″）→3″（30″）。

②在正投影中，包含三棱柱最上面的棱线作一辅助平面QV，同样产生一平行于四棱锥底边截交线，其中有效交点为Ⅴ、Ⅴ0，即由5′（50′）求出5（50）和5″（50″）。

③在正投影中，正四棱锥的最前、最后棱线分别与三棱锥的右侧面和底面相交，故分别产生交点Ⅳ、Ⅳ0及Ⅱ、Ⅱ0。其中Ⅱ、Ⅱ0前面已经求出，Ⅳ、Ⅳ0的求解根据直线上点的从属性，便可由4′（40′）求出4″（40″）和4（40）。

④根据相贯线的连线原则，可得前后两组相贯线分别按Ⅰ、Ⅰ0→Ⅱ、Ⅱ0→Ⅲ、Ⅲ0→Ⅳ、Ⅳ0→Ⅴ、Ⅴ0→Ⅰ、Ⅰ0的顺序连接，它们的正投影前后重影、水平投影和侧投影后对称。

⑤判断可见性。根据同时属于两立体可见表面的线段才可见的原则，判断水平投影中属于三棱柱底面的前、后各两段线段为不可见，侧投影中属于正四棱锥右侧面的前、后各3段线段为不可见。

图5.19　求三棱柱与正四棱锥的相贯线