【例4.11】如图4.23（a）所示，求直线AB的实长和倾角α。
【解】分析：欲求水平倾角，旋转时应保持水平倾角不变，应选择垂直于H面的旋转轴。令旋转轴过A点，在旋转过程中A点将不动，只需将B点旋转。
作图：如图4.23（b）所示。
①在水平投影图中，以a为圆心、ab为半径作bb1圆弧，使ab1∥x。
②在正投影图中，由点的旋转规律知，B点正投影应做平行于投影轴的直线移动，即由b′→b′1，b′b′1∥x，得b′1。
③连接a′b′1即获得反映AB直线实长的投影；a′b′1与X轴的夹角即为所求倾角α。
图4.23（b）中旋转轴的位置很明显，在应用时旋转轴经常无须指明，而图4.23（c）则表示了一般位置直线AB绕不指明位置的铅垂轴旋转成正平线的情况。由于保证了旋转时其水平投影长度不变，正面投影高差不变，故旋转后的正投影反映该直线实长和倾角。由此可见，若旋转轴性质不变，仅改变其位置，对旋转后的结果是没有影响的。在解题中，为了使图面更加清晰，常采用不指明轴的旋转法。
图4.23 求直线的实长及倾角α
【例4.12】如图4.24（a）所示，求平面△ABC的倾角α。
【解】分析：由于需要求出平面的水平倾角α，所以必须绕铅垂轴旋转；若要将一般位置面旋转成正垂面，则必须将属于△ABC的一条水平线旋转为正垂线。
作图：用绕不指明轴旋转法，如图4.24（b）所示。
①在△ABC中作水平线AD，由a′d′∥X，a′d′→ad。
②将AD绕铅垂轴旋转成正垂线的同时（即a1d1⊥X），用△abc≌△a1b1c1求出△ABC新的水平投影△a1b1c1。
③过a′、b′、c′分别作平行于X轴的直线，并以a′1a1⊥X、b′1b1⊥X、c′1c1⊥X，求出a′1b′1c′1，此投影具有积聚性。
④积聚投影a′1b′1c′1与X轴的夹角即为所求α。
用同样的思考方法，可求出平面的正面倾角β。如图4.25所示，在△ABC上作正平线BE，将正平线BE绕正垂轴旋转成铅垂线。根据平面绕垂直轴旋转的投影规律，有△a′b′c′≌△a′1b′1c′1。过a、b、c分别作平行于X的直线，由a1a′1⊥X、b1b′1⊥X、c1c′1⊥X，得到△ABC具有积聚性的投影a1b1c1，它与X轴的夹角即为△ABC的β。
图4.24 求△ABC的倾角α
图4.25 求△ABC的倾角β
【例4.13】如图4.26（a）所示，过点C作直线CD与AB垂直相交，求CD。
【解】分析：当直线AB垂直于某一投影面时，由于AB⊥CD，直线CD一定平行于该投影面，且反映实长。同时，在该投影面上的投影反映出AB⊥CD的直角。因此，需将直线AB旋转成垂直线；而一次旋转只能将一般位置直线旋转成平行线（如例4.11），还需将平行线再次旋转成垂直线，所以本例应进行二次旋转。(www.xing528.com)
作图：用不指明垂直轴旋转法，如图4.26（b）所示。
①第一次旋转，使AB直线成为正平线A1B1，C点按“三同”原则随着直线AB一起旋转至C1，即a1b1∥X，a1b1=ab；c1与a1b1的相对位置与旋转前c与ab的相对位置保持不变，以点、直线绕垂直轴旋转的规律，作出a′1b′1及c′1。
②第二次旋转，使A1B1直线变换成铅垂线A2B2，C1点按“三同”原则随A1B1一起旋转，即a′1b′1=a′2b′2，a′2b′2⊥X。c′2与a′2b′2的相对位置与旋转前c′1与a′1b′1的相对位置保持不变，c′2c2⊥X，同样以点、直线绕垂直轴旋转的规律，作出a2、b2及c2。
③过点C作直线CD垂直于AB。由于此时a2b2已积聚，它与c2的连线c2d2就是反映垂线CD实长的投影，其正投影平行于X轴（c′2d′2∥X）。
④按旋转前后旋转轴所垂直投影面中的投影，其相对位置不变的规律，且由D点是属于AB直线上的，逐次返回，求出D点的各个投影d1、d′1、d、d′，与C点同名投影的连线就是距离的各个投影。
图4.26 求C点到直线AB的距离
【例4.14】如图4.27（a）所示，求一般位置平面△ABC的实形。
【解】分析：为求△ABC的实形，需将△ABC旋转成平行平面。在两面体系中，平行面的倾角一个为90°，一个为0°。从例4.12中可获得启示：先用一次旋转将△ABC旋转成垂直面，产生一个具有90°倾角的积聚投影，保持这个90°倾角不变（在投影图中体现为积聚投影不变），再进行一次旋转，产生另一个倾角为0°的投影，该投影反映△ABC的实形。
作图：如图4.27（b）所示，综合运用不指明垂直轴和指明垂直轴旋转法。
①第一次旋转，绕过不指明的正垂轴，将△ABC旋转成铅垂面。其作图方法同例4.12，产生c′1a′1b′1、c′1a′1b′1具有积聚性的正面投影a1b1c1及△a′1b′1c′1。
②第二次旋转，绕过C点的铅垂轴旋转，将积聚投影a1b1c1旋转至平行于X轴的位置，即a2b2c2∥X。由平面绕垂直轴旋转的规律，作出△a′2b′2c′2，即为△ABC的实形。
【例4.15】如图4.28（a）所示，求直线AE与平面△ABC的夹角θ。
【解】分析：可以把平面△ABC通过两次旋转，使它变换成平行面。此时，直线AD（其中A点是直线与平面的共有点）也随着平面进行旋转。在平面△ABC反映实形的投影中，保持平面不动，只将直线AD绕垂直于平面△ABC所平行投影面的轴（一条垂直轴）旋转，将直线AD旋转成另一投影面平行线，在这个直线AD所平行的投影面中，直线AD与平面△ABC的夹角θ就可直接反映出来。
作图：如图4.28（a）所示。
①第一次旋转，将平面△ABC旋转成垂直面。在△ABC上作一条水平线AE，绕不指明的铅垂轴将它旋转成正垂面，此时，直线AD随之进行旋转。
图4.27 求一般位置平面△ABC的实形
②第二次旋转，再将平面△ABC旋转成平行面。将第一次旋转中平面△ABC具有积聚性的投影，绕过C点的正垂轴旋转，把平面△ABC旋转成水平面，此时，直线AD也随之进行旋转。
③第三次旋转，保持平面不动，只将直线AD绕过A点的铅垂轴旋转，使直线AD旋转成正平线。此时，直线AD反映实长的投影a3′d3′与平面△ABC具有积聚性的投影a′2b′2c′2之间的夹角，即为题目所求的夹角θ。
图4.28 求直线AE与平面△ABC的夹角θ
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
