画法几何：平面与平面垂直实践

1）几何原理

若一直线垂直于某一定平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该定平面，如图3.26（a）所示。同理，若两平面相互垂直，则自属于甲平面的任意一点向乙平面所作垂线一定属于甲平面，如图3.26（b）所示。反之，若过属于甲平面的任意一点向乙平面所作垂线不属于甲平面，则甲、乙两平面不垂直，如图3.26（c）所示。

图3.26　两平面相互垂直的几何原理

2）投影作图

（1）特殊情况

同一投影面的垂直面与平行面相互垂直，如铅垂面与水平面必定相互垂直，正垂面与正平面必定相互垂直。

若两个同一投影面的垂直面相互垂直，则两者积聚性投影（迹线）相互垂直，且交线为该投影面的垂直线，如图3.27所示。例如，两正垂面相互垂直，则它们具有积聚性的正面投影相互垂直，交线为正垂线；两铅垂面相互垂直，则它们具有积聚性的水平投影相互垂直，交线为铅垂线。

注意：此处所指相互垂直的两特殊位置平面均为同一投影面的特殊平面。例如，两铅垂面相互垂直，或铅垂面与水平面相互垂直，都是相对于H投影面的特殊位置平面。绝不可能有铅垂面垂直于正垂面这类情况，因为垂直于铅垂面的直线只能是水平线，而包含水平线不可能作出正垂面。

图3.27　两同一投影面的垂直面相互垂直

（2）一般情况

直线与平面均无特殊位置时，不能直接从投影图中寻找积聚投影，只能利用辅助的水平线和正平线来作图。

【例3.13】过点K作铅垂面P垂直于平面△ABC，如图3.28（a）所示。

【解】分析：根据题目几何条件，首先需过点作平面的垂线，作法同图3.24，然后包含垂线作铅垂面即可。同时，所求P为铅垂面，题目没有限定平面表示法，也可以用最简法表示PH，故只需作出平面垂线的H面投影即为平面P的水平迹线。(www.xing528.com)

作图：如图3.28（b）所示。

①作属于平面△ABC的水平线AD。

②过点K作一直线垂直于水平线AD的H投影ad，将此直线命名为PH，即得用积聚性迹线表示的平面P。

图3.28　过点作铅垂面垂直于已知平面

【例3.14】如图3.29（a）所示，判断已知平面△ABC和平面△DEF是否垂直。

图3.29　判断两个一般位置平面是否垂直

【解】分析：判断已知平面△ABC和平面△DEF是否垂直，实质上是检查平面△ABC是否包含平面△DEF的一条垂线，或者是检查平面△DEF是否包含平面△ABC的一条垂线。若能作出一条满足该要求的垂线，则两平面垂直；否则，不垂直。

作图：如图3.29（b）所示。

①作属于平面△ABC的水平线CN和正平线AM。

②过△DEF的顶点E的V投影e′作e′g′⊥a′m′，并根据EG属于△DEF求出eg。

③易知eg不垂直于cn，故平面△ABC和平面△DEF相互不垂直。