画法几何：两平面相交技巧

一般位置平面的投影均无积聚性，所以必须通过辅助作图才能求得其交线。通常引用合适的辅助面，采用辅助面和已知两平面三面共点的原理作交线。

（1）线面交点法

两平面的投影相互重叠，通常用线面交点法求交线。一平面图形的边线与另一平面的交点，是两平面的共有点，也是属于交线的点，两平面的交线为直线，只要求得两个这样的交点并连接它们，便可获得两平面的交线。可见，两平面求交线是3.2.3节中一般位置直线与一般位置平面求交点的重复应用。

【例3.9】求△ABC与△DEF的交线，如图3.20（a）所示。

【解】分析：两个一般位置平面无积聚性可利用，但两者投影相互重合，可采用线面交点法。选作辅助面的边，首先剔除在有限图幅内可能无交点的边（如AC、BC、DE），因为在V、H投影中它们有不与另一图形重合的投影。在BC、DE、DF中选两个，并尽量选择与另一图形重叠范围较多的边线来作图。

作图：投影作图步骤如图3.20所示。

①求交线。包含直线DF作一辅助正垂面P，P与△ABC的交线为MN，MN与被包含直线DF的交点K（k′，k）为交线的一个点；同时包含EF作一辅助铅垂面Q，求出Q与△ABC的交线，此交线与被包含直线EF的交点L（l′l）为交线的又一个点，如图3.20（b）所示。连接KL（k′l′，kl）即为△ABC与△DEF的交线，如图3.20（c）所示。

②判别可见性。判别V投影的可见性时，可从a′c′、a′b′和d′f′、e′f′相交的4个投影交点中任一点（如a′b′和d′f′的交点）开始，向下引投影联系线，先遇df，后遇ab，表示DF上的点Ⅱ被AB上的点Ⅰ遮挡，a′b′在前，为实线，d′k′不可见，为虚线。平面是连续的，故以交线kl为界，在k′l′f′一侧两平面投影重叠部分属于图形△DEF的图线可见，应为实线。而在k′l′e′d′一侧，可见性则与k′l′f′侧相反。若不采用平面是连续的说法，也可以利用“虚实相间性”来作图，d′k′不可见，为虚线。交点是可见与不可见的分界点，所以k′f′可见，为实线，a′c′相应段不可见，为虚线，顺次循环，回到可见性判别的起点并吻合。

图3.20　线面交点法求两个一般位置平面的交线

判别H投影的可见性时，可从ab、bc、de、df相交的4个投影交点中任意一点（如bc、ef投影交点）开始，向上作投影联系线，先遇e′f′，后遇b′c′，即EF上的点Ⅳ被BC上的点Ⅲ遮挡，EF在下为不可见，l3投影重叠部分应为虚线，其余类推。投影的可见性如图3.20（c）所示。

两平面相交的可见性判别，还可以利用3.2.3节中的方法加以简化。从图3.20（b）可知，DF、EF分别与下行平面△ABC（标注符号回转方向相反）相交于K、L，故直线DF、EF的V、H投影在交点K、L的两侧可见部分相反，所以只需判别一个投影的可见性，即可推断另一投影的可见性。(www.xing528.com)

③完成作图，如图3.20（d）所示。

（2）线线交点法

线线交点法又称辅助平面法。当相交两平面投影图形相互不重叠时，其交线不会在两图形的有限范围内，此时可用三面共点原理，通过作辅助平面求其交线。如图3.21（a）所示，辅助平面R1分别与已知平面P、Q相交于直线ⅠⅡ、ⅢⅣ，这两条交线同属平面R1，故其延长线必然相交，交点K一定属于P、Q两平面的交线（K同时属于R1、P、Q这3个平面）。同理，再利用平面R2可求得属于交线的另一点L，连接K、L即得所求交线。

图3.21　三面共点法求交线

为便于作图，辅助平面一般都选特殊位置平面，尤其是投影面平行面。过已知点作辅助平面更为准确、方便。如图3.21（b）所示，三面共点法求交线的投影作图步骤如下：

①作水平面R1的V面迹线R1V，它与P（p′，p）、Q（q′，q）的交线（属于各平面的水平线）分别是ⅠⅡ（1′2′，12）、ⅢⅣ（3′4′，34），两者相交于点K（k′，k）。

②用同样的方法，作辅助平面R2的V面迹线R2V，得属于交线的又一交点L（l′，l）。注意同一平面的水平线应相互平行，即12∥56，34∥78。

③连接kl、k′l′，所得直线KL即为两平面的交线。

两相交平面投影图形相互不重合，在有限范围内两者并不相交，故所求交线相当于将两平面图形扩大后的交线位置。此时不存在遮挡情况，也不需要判别可见性。