画法几何：平面与平面平行绘制

1）几何条件

属于同一平面的两相交直线，若分别平行于属于另一平面的两相交直线，则两平面相互平行，如图3.7所示。

图3.7　平面与平面平行

图3.8　两平面中存在多条平行的直线

平面中同时存在着无数条直线，如果平面内相互平行的两条直线，同时与另一平面中相互平行的两直线平行，则不能判断这两个平面的关系。如图3.8（b）所示，两相交平面中都存在多条与平面的交线平行的直线。

2）投影作图

平面与平面平行中，常见问题有两类：一是作平面平行于已知平面；二是判别两平面是否平行。

根据平面本身与投影面的关系，可以获知平面是否具有特征投影。当投影图无特征时，需要作辅助线来解决两平面平行的问题；而投影图有特征时，则不必作出辅助线就能解决两平面平行的问题。

（1）特殊位置平面的相互平行

特殊位置平面的相互平行问题，平面的积聚投影是解题关键。若两平面的积聚投影在同一投影面上且相互平行，则此两平面必然相互平行，且平面的间距等于其积聚投影之间的距离（图3.9）。

图3.9　两个投影面垂直面相互平行

平行平面用迹线表示时，则其同面迹线一定相互平行。(www.xing528.com)

图3.10中，若P∥Q，则PH∥QH，PV∥QV。因为PH和QH是两平行平面P、Q与H面的交线。PV和QV是两平行平面P、Q与V面的交线。但是这些同面迹线之间，PH和QH或者PV和QV的距离均不等于两平行平面P、Q之间的空间实际距离。

图3.10　两个迹线表示的平面平行

（2）一般位置平面的相互平行

【例3.5】过点M作一个平面平行于已知平面ABC，如图3.11（a）所示。

【解】分析：此题并未限定所求平面的表示方式，故可依据直线与直线、平面与平面平行的几何条件，直接作出用两相交直线表示的所求平面。只需任意选择两条属于平面ABC的相交直线，分别过点M作出其平行线，所作的两直线形成的平面P为所求。

作图：如图3.11（b）所示。过点M作直线MN∥AB、ML∥AC，则两相交直线MN与ML所确定的平面平行于已知平面ABC。

图3.11　过点M作一个平面平行于已知平面ABC

【例3.6】如图3.12（a）所示，试判别平面ABC和平面LMN是否相互平行。

【解】分析：两平面是否平行，取决于能否作出既属于其中一平面（如平面ABC），又能平行于属于另一平面LMN的两条相交直线。题目中平面LMN已经存在一条平行于BC的直线MN，因此，关键是能否过点L作出另一条平行于平面ABC且与MN相交的直线。

作图：如图3.12（b）所示。在水平投影中过点l作lk∥ac，与mn相交于k，求得K点的V面投影k′，连接l′k′，易知l′k′并不平行于a′c′，故平面ABC与平面LMN不平行。

图3.12　判别两平面是否相互平行