两直线相对位置─画法几何与阴影透视

两直线在空间所处的相对位置有三种：平行、相交和相叉（即异面）。以下分别讨论它们的投影特性。

1）平行的两直线

根据平行投影的特性可知：两直线在空间相互平行，则它们的同面投影也相互平行。

对于处于一般位置的两直线，仅根据它们的两面投影互相平行，就可以断定它们在空间也相互平行，如图2.27所示。但对于特殊位置直线，有时则需要画出它们的第三面投影，来判断它们在空间的相对位置。如图2.28给出的两条侧平线AB和CD，因为它们的侧面投影并不互相平行，所以在空间里这两条线是不平行的。

如果相互平行的两直线都垂直于某一投影面（如图2.29），则在该投影面上的投影都积聚为两点，两点之间的距离反映出两条平行线在空间的真实距离。

图2.27　平行两直线图

图2.28　不相平行的两侧平线

图2.29　垂直与投影面的两平行线

2）相交的两直线

所有的相交问题都是一个共有的问题，因此，两直线相交必有一个公共点即交点。由此可知：两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且交点符合空间点的投影特性。

同平行的两直线一样，对于一般位置的两直线，只要根据两面投影的相对位置，就可以判别它们在空间是否相交。如图2.30所示的两直线是相交的，而图2.31中的两直线就不相交，是交叉的两直线。但是，当其中一条是投影面的平行线时，有时就需要看一看它们的第三面投影或通过直线上点的定比性来判断。

当两相交直线都平行于某投影面时，该相交直线的夹角在投影面上的投影反映出夹角的真实大小，如图2.32所示。

图2.30　相交的两直线图(www.xing528.com)

图2.31　交叉的两直线

图2.32　平行于投影面的两相交直线在该投影面上反映真实的夹角

3）相叉的两直线

如图2.33所示，在空间里既不平行也不相交的两直线，就是相叉的两直线。由于这种直线不能同属于一个平面，所以在立体几何中把这种直线称为异面直线。

在两面投影图中，相叉两直线的同面投影可能相交，要判断两条直线是相交的还是相叉的，就要判断它们的同面投影交点是否符合点的投影规律，如图2.33中，正面投影a′b′和c′d′的交点与水平投影ab和cd的交点不符合投影规律，则AB与CD没有相交而是相叉。如果两线中有一条或两条是侧平线，则需要看第三面投影，如图2.34所示。

事实上，相叉的两直线投影在同一投影面的交点都是空间两个点的投影，即是该面的重影点。如图2.33中，ab和cd的交点是空间AB上的Ⅰ点和CD上的Ⅱ点的水平投影。因为Ⅰ和Ⅱ处在同一条铅垂线上，所以，水平投影1重合于2，用符号1（2）表示。同样的，a′b′和c′d′的交点是空间CD上的Ⅲ点和AB上的Ⅳ点的正面投影。因为Ⅲ和Ⅳ处在同一条正垂线上，所以正面投影3′重合于4′，用符号3′（4′）表示。根据可见性将不可见点用括号括起来。

图2.33　相叉的两直线

图2.34　有一条侧平线的两相叉线

图2.35　判别相叉直线的可见性

【例2.10】判别图2.35给出的两相叉直线AB和CD上重影点的可见性。

【解】如图2.35所示，从侧面投影的交点1″（2″）向左作水平的联系线，与c′d′相交于2′，与a′b′相交于1′。因为1′在2′的左方，所以AB上的Ⅰ点在CD上的Ⅱ点的左方。由重影点特性“左可见、右不可见”知1可见，2不可见，在侧面投影上2″打上括号。同理，从正面投影的交点3′（4′），向右作水平联系线，与a″b″相交于4″点，与c″d″相交于3″点。因为3″位于4″之前，所以CD上的Ⅲ点看得见，而AB上的Ⅳ点不可见。这说明：直线CD在Ⅲ点处位于直线AB之前，则3″可见，4″不可见，在正面投影上将4″打上括号。