点在投影体系中的投影

根据初等数学的概念，两个坐标不能确定空间点的位置。因此，点在一个投影面上的投影，不能确定该点的空间位置，即单一投影面上的投影，可以对应无数的空间点。我们需设置两个互相垂直的正立投影面V和水平投影面H（图2.1）。两投影面将空间划分为4个区域，每个区域称为分角，按逆时针的顺序称之为第一、二、三、四分角，在图中用罗马字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ来表示。

1）点的两面投影

我国工程制图标准规定：物体的图样，应按平行正投影法绘制，并采用第一分角画法。因此，我们将重点讨论点在第一分角中投影的画法。

图2.1　相互垂直的两投影面

如图2.2（a）所示，过点A分别向投影面V、H作垂线，即投射线，与V、H面分别交于a′、a。a′称为空间点A的正面投影，简称V面投影，其坐标是（x，z）；a称为空间点A的水平投影，简称H面投影，其坐标可用（x，y）表示。Aa′a构成的平面与OX轴的交点为ax。故我们可以用（x，y，z）表示一个空间点的三维坐标。

前面所描述的点以及投影仍然是在三维空间中，而图纸是二维空间（即平面），我们将点的两面投影体系展开即得到空间点A的两面投影图，如图2.2（b）所示。投影面没有边界，ax的大小并没有什么意义，因此再去掉投影面的边框，如图2.2（c）所示，这就是我们通常所用的点的两面投影图。

（1）点的两面投影特性

从图2.2（a）中可知，Aa⊥H面，Aa′⊥V面，则平面Aa′axa⊥H、V面，也垂直于投影轴OX。展开后的投影图上，a、ax、a′三点成为一条垂直于OX的直线。由于Aa′axa是一个矩形，aax=Aa′，a′ax=Aa。由此可以得出点在两面投影体系中的投影特性为：

a.点的正面投影和水平投影的连线，垂直于相应的投影轴OX轴（aa′⊥OX）；

b.点的正面投影到投影轴OX的距离等于空间点到水平投影面H的距离；

c.点的水平投影到投影轴OX的距离等于空间点到正投影面V的距离（a′ax=Aa，aax=Aa′）。

注意观察空间点的坐标（x，y，z）与点到投影面的距离之间的关系。我们可以用坐标值来表示点到面的距离：空间点到H投影面的距离可用z坐标表示；空间点到V投影面的距离可用y坐标表示；空间点到W投影面的距离可用x坐标表示。

以上特性适合于其他分角中的点。

图2.2　点的两面投影

该投影规律正是我们在作点的投影图中的一个基本原理和方法。

（2）点在其他分角中的投影

在实际的工程制图中，通常把空间形体放在第一分角中进行投影，但在画法几何学中应用图解法时，常常会遇到需要把线或面等几何要素延长或扩大的情况，因此就很难使它们始终都在第一分角内。在这里我们简单地讨论点在其他分角的投影情况。

图2.3所示的是点在第一、二、三、四分角内的投影情况。投影的原理以及投影特性与前面所讲述的点在第一分角的投影完全一样，投影面的展开也与前面所讲的一样，得到的两面投影图对于各分角的点的区别如下：A点在第一分角中，其正面投影和水平投影分别在OX轴的上方和下方；B点是属于第二分角中的点，其正面投影和水平投影均在OX轴的上方；D点在第三分角中，其情况与第一分角正好相反，正面投影在OX轴的下方，水平投影在OX轴的上方；而第四分角的点C，则与第二分角的点B相反，两个投影均在OX轴的下方。显然，两个投影均在投影轴一侧，对完整清晰地表达物体是不利的。因此，ISO标准、我国和一些东欧国家多采用第一角投影的制图标准，美国、英国以及一些西欧国家采用了第三角投影制图标准。

图2.3　点在四个分角中的投影

（3）特殊位置点的投影

所谓特殊位置点，就是在投影面上或在投影轴上的点。

从以上的投影原理可以看出，属于投影面上的点，它的一个投影与它本身重合，而另一个投影在投影轴上，如图2.4中的A、B、D、E点。其中A、E点均属于水平面H，其V面投影在OX轴上（a′、e′在OX轴上），A点属于第一分角，其H面投影a在OX轴的下方，E点属于第二分角，其H面投影e在OX轴的上方；B、D点属于正平面V，其H面投影在OX轴上（b、d在OX轴上），而由于两者所处的位置不同，b′在OX轴的上方，d′在OX轴的下方。

属于投影轴的点，它的两个投影都在投影轴上，并与该点重合，如图2.4中的C点。

图2.4　四个分角中特殊点的投影

2）点的三面投影

虽然用两面投影已经可以确定空间点的位置，但在表达有些形体时，如前所述，只有用三面投影才能表达清楚。因此，我们在这里讨论点的三面投影。

三面投影体系是在两面投影体系的基础上，加上一个与H、V面均垂直的第三个投影面W（称侧立投影面，简称侧投影面或W投影面），如图2.5（a）所示，V、H、W三面构成三面投影体系。

三个投影面彼此垂直相交，它们的交线统称为投影轴。实际上，每两个投影面均可构成两面投影体系。V面和H面的交线为OX轴，H面和W面的交线为OY轴，V面和W面的交线为OZ轴，投影轴OX、OY、OZ互相垂直交于点O，该点称为原点。

图2.5　点在三面投影体系中的投影

如图2.5（a）所示，由空间点A分别向V、H、W面进行正投影，得到A点在各投影面上的投影a、a′、a″。a″是空间点A的侧面投影。投射线Aa、Aa′、Aa″分别组成三个平面：aAa′、aAa″和a′Aa″，它们与投影轴OX、OY和OZ分别相交于ax、ay、az。这些点和点及其投影a、a′、a″的连线组成一个长方体，则有以下等式成立：

Aa=a′ax=a″ay=azO

Aa′=a″az=aax=ayO

Aa″=aay=a′az=axO(www.xing528.com)

为了把三个投影a、a′、a″表示在一个平面上，仍将V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转90°也与V面重合。此时，Y轴被分成两根，我们把H面上的OY轴用OYH表示，简称YH，W面上的OY轴用OYW表示，简称YW，但从空间上两根轴线的含义一样。这样，就得到了A点的三面投影图，如图2.5（b）所示，同样可得到图2.5（c）。其投影特性如下：

①点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（a′a⊥OX），即长对正。

②点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（a′a″⊥OZ），即高平齐。

③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离（a″az=aax），即宽相等。

这三条投影特性，是形体的三面投影之所以成为“长对正、高平齐、宽相等”的理论依据。这也说明，在三面投影体系中，每两个投影都有内在的联系，只要给出一个点的任何两个投影，就可以求出其第三个投影。图2.5（c）中的45°线是为了保证“宽相等”而作的辅助线，也可用四分之一个圆来代替。

【例2.1】如图2.6所示，已知空间点B的水平投影b和正面投影b′，求该点的侧面投影b″。

【解】过b′引OZ轴的垂线b′bz，在b′bz的延长线上截取b″bz=bbx，b″即为所求。

作法如图中的箭头所示。

图2.6　已知点的正面和水平投影求侧面投影

【例2.2】如图2.7所示，已知空间点C的正面投影c′和侧面投影c″，求该点的水平投影c。

图2.7　已知点的正面和侧面投影求其水平投影

【解】过c′引OX轴的垂线c′cx，在c′cx的延长线上截取ccx=c″cz，c即为所求。作法如图中的箭头所示。

从前面讲的三面投影体系中我们可以知道，三根投影轴OX、OY、OZ所构成的就是直角坐标（笛卡尔坐标）体系。在三面投影体系中，这三个坐标值代表了空间点到三个投影面的距离，这三个距离或者说这三个坐标值就决定了空间点的位置，如图2.8所示。

A点到W面的距离（Aa″）=A点的x坐标值（Oax）

A点到V面的距离（Aa′）=A点的y坐标值（Oay）

A点到H面的距离（Aa）=A点的z坐标值（Oaz）

当三个投影面展开重合为一个平面时，如图2.8（b）所示，这些表示点的三个坐标的线段（Oax、Oay、Oaz）仍留在投影图上。从图中可以看出：由A点的x、y坐标可以决定A点的水平投影a；由A点的x、z坐标可以决定A点的正面投影a′；由A点的y、z坐标可以决定A点的侧面投影a″。这样，可以得出以下结论：

已知一个点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐标，就可以求出该点的三面投影。每个投影都由两个坐标值确定，实际上，已知点的两个投影，便可以知道点的三个坐标值，就可以求出点的第三个投影。

图2.8　三面投影体系中点的投影与坐标的关系

【例2.3】已知空间点的坐标：x=15mm、y=10mm、z=20mm，试作出A点的三面投影图。

【解】①在图纸上作一条水平线和铅垂线，两线交点为坐标原点O，其左为X轴，上为Z轴，右为YW，下为YH。

②在X轴上取ax=15mm；过ax点作O轴的垂线，在这条垂线上自ax向下截取aay=10mm和向上截取a′az=20mm，得水平投影a和正面投影a′，如图2.9（a）、（b）所示。

③由a′向OZ轴引垂线，在所引垂线上截取a″az=10mm，得侧面投影a″。

作法如图2.9（c）所示。

图2.9　已知空间点的坐标，求其三面投影

图2.10　属于投影面的点

当空间点为某个特殊位置时，则至少有一个坐标为零。如图2.10所示，空间点D属于H面，则z=0，因此，D点的V面、W面投影分别在OX轴和OYW轴上（d′在OX轴上，d″在OYW轴上），而H面的投影（即d″）与空间D点本身重合。此时应注意，d″应在OYW上，而不在OYH上，因为d″是W面上的投影，而非H面的投影。

结合点的坐标来看，特殊点的坐标及投影具有以下特点：

①属于投影面上的点，其坐标必有一个为零，它的一个投影与它本身重合，而另一个投影在投影轴上。

②属于投影轴上的点，其坐标必有两个为零，它的两个投影都在投影轴上，并与该点重合。

③当点的位置在原点时，其坐标均为零，它的三个投影都在原点处。