毕尔巴鄂古根海姆博物馆：数学文化精华

根据前面所学知识，我们先思考一下现在对传统建筑实践有什么显著的印象。在建造大型的复杂建筑之前，建筑师需要先提供详细的描述。他们必须与工程师一起证明建筑物的结构合理，能经受极端天气和地震的考验，即使时间流逝也依然能达到这些要求。建筑师和工程师需要确定建筑的内部空间，包括人流、照明、采暖和音响条件都要达到预期要求。建筑过程的目标是给出各种不同的表现方法和提案，根据相关证据对它们进行分析，最终将所选取的明确的表现方法转变成原比例的物理实物。这一过程必须要考虑建筑物的功能、尺寸和形状，施工的可行性、材料和方法，预算及竣工和居住时间等基本变量。

传统上，建筑师依靠欧几里得几何学给其想法赋予形状。他们用钢笔、直尺和圆规在纸上画出点、直线、平面、圆弧和球面，从而创造出自己的设计。在木匠和石匠按原比例将其实现后，这些平面构图就转化为建筑物。砖是矩形的，砌在一起就形成了线或直角。它们一层层平铺，就变成了平面墙。最容易使用锯来实施直线切割，得到平坦的表面。通过拉伸、旋转绳子或用铅垂线，指导建筑物实现直线形或拱形。正如哥特时代尤其是米兰大教堂的故事所说明的，要根据基本几何学规律考虑其结构的稳定性，并根据随时间累积的经验进行方案调整。总之，建筑师依靠基本的欧几里得几何工具来绘制他们所能建造的并建造他们所能绘制的图纸。建筑物是由木、石、砖和水泥等建筑材料建成的，而这些建筑材料是由人和驮畜拖动的简易杠杆、升降机、起重机运送到指定位置。几千年来，人类就是这样修建他们的建筑物。

工业革命及随之而来的技术革命改变了这一进程。它提供了新的建筑材料，包括铸铁、钢和钢筋混凝土，发明了由蒸汽、柴油和电驱动的起重机和悬臂吊车，提出了评估结构稳定性的新方法，包括材料检测和结构工程上的数学方法。所有的这些成就都使建筑师扩大了他们所能建筑的范围。19世纪末到20世纪初，内部有机械和电力设施（照明、暖气、空调和最重要的电梯）的大规模、高复杂度的建筑物，包括摩天大楼在内已经是很常见的了。但是，传统的作图工具，如刻度尺、丁字尺、平行线尺（用来快速绘制平行线）、量角器（用来划分角）和坐标纸（其上有矩形栅格）等仍然是建筑行业使用的工具。结构工程师已经很清楚复杂的分析方法了，但仍要用简单的公式、表格、经验数据、计算尺和经验法则来处理大部分的稳定性问题和建筑物性能问题。这也就是约恩·伍重当初为悉尼歌剧院大赛绘制其设计时面临的情况。他用粗的软铅笔画出了形状，找到了弯曲的帆形屋顶结构的节奏。他的助手用传统的绘图工具、标准的画法几何技术和硬尖铅笔将其想法转化为蓝图和施工图。伍重的设计不是上面罩上半球形拱顶的一些盒子，而是一座史无前例的自由流动的大型雕塑。正如我们在前面一节所见到的，用预应力混凝土和玻璃将其构想转化为能够建造的结构是一项艰巨而又旷日持久的工作。从1957—1962年，伍重和阿鲁普试验了不同的拱顶几何形状，想要找到一种可行的方案。他们探讨了单层混凝土壳、双层混凝土壳、以钢桁架承重的混凝土壳以及抛物线和椭圆几何形状。每提出一种新方案和几何形状（在从同一个球面切割所有壳并用从基部呈扇形展开的混凝土拱肋进行建造的灵感产生之前），都必须根据力、挤压力及偏转评估其结构的稳定性。这项任务的第一步是找到壳表面的精确的数学描述，而完成这项工作后，基本上就能进行必要的计算了。

现在来到了最难的部分。阿鲁普及其团队意识到这些计算需要的计算能力远远超过了人们所能提供的。20世纪50年代初，第一台电子计算机进入商业领域，但能进行壳分析的强大计算机当时还处于开发阶段，所需要的数学算法也正在整理之中。首先要做的是用矩阵表示壳上单点处的应力或偏移。要表示整个壳上的应力和偏移需要大型系统矩阵。求解这些系统的指令需要用程序员和计算机能够处理的方法来表示。这些程序接口和语言也只是刚被创建，不时会根据所构想的几何体的传统素描推出一些必要数据。一些用于具体分析的数据会以一长溜小孔的形式打在细长的卷纸上。核查完这些小孔并为了保证精度再核查一遍后，纸带就被放进计算机内并由其“读出”。阿鲁普能获得的计算机的存储容量约为今天个人电脑的百万分之一，现在个人电脑只需十几秒完成的计算，而那时却要花上十几个小时。每次考虑壳的一种新几何形状时，之前所做的技术分析就被作废，必须舍弃。此时就要修改软件，重新编制计算机程序，整个过程又得重新开始。

阿鲁普及其团队小心地对待计算机得出的结果。工程师们也依靠对壳的塑料和木制模型的测试来估计力和应力的分布。如图9－38所示就展现了其中的一个结果。即使他们使用的计算机性能极小，数学算法只得到初步发展，他们对大型帆形壳的结构评估也是不可或缺的。事实上，没有计算机技术，伍重创造性的壳不可能有出头之日。

如今，计算机技术的发展已经使这类分析程序化了。计算机辅助设计（CAD）系统是传统绘图工具的精确、高效版本。它提供了基本的绘图组件，如点、直线、圆和椭圆。通过在计算机屏幕上进行拷贝、剪切、粘贴、拖拉、网格对齐、缩放、剪裁等操作，对这些组件进行组合及修改，可以很容易得到复杂的设计。20世纪60～70年代早期，计算机科学家开发出了用诸如NURBS这样的系统对曲面进行数字建模的新软件。后期使用的样条（NURBS是非均匀有理B样条，即nonuniform rational B－splines的缩写）是由多项分段定义的专用数学函数。

图9－38 壳A2的压力分布（得自壳模型的风洞试验）

这种曲面CAD系统已成为汽车、飞机和轮船设计的基本工具。娱乐业也使用这种软件来创建卡通人物，并在二维和三维动画中赋予它们生命。日益提高的计算机性能以及日益复杂的显示技术让设计师能在计算机屏幕上完成自由形式的曲面，不管是静止的还是移动的，就像传统建筑师在纸上完成线、面、圆、圆柱和球一样容易，甚至更容易。

20世纪90年代初，建筑师弗兰克·盖里（Frank Owen Gehry，1929—）和他的团队首先将建筑实践与数字设计领域联系起来。1992年奥林匹克运动会召开之际，他受委托在巴塞罗那码头塑造的不朽的鱼雕塑（1989—1992）是开创性的项目。过去为航空工业开发的CAD系统对它的流线型曲面进行数字建模，并进行设计开发及结构分析。它还产生了之前由传统绘图给出的施工所需的详细文档。巴塞罗那鱼雕塑为把成功的数字曲面建模应用到盖里后期更大的项目，如毕尔巴鄂的古根海姆博物馆（1991—1997）和洛杉矶的迪士尼音乐厅（1999—2003）做好了准备。

在设计和建造具有历史意义的毕尔巴鄂古根海姆博物馆时，盖里采取了如下的步骤。纸上的曲线素描和模型上的曲面塑形让他能自由表达他的初始想法。为了便于探讨，他徒手制作了许多大型物理模型，采用先进的数字转换器捕捉比较重要的模型的顶点坐标、边及其他表面元素。通过诸如NURBS这样的软件，有可能设计出这些模型的三维数字版，可以表达出流线形状的微妙之处以及彼此间的细微差别并达到极大的精度。而后，由计算机控制的三维打印机和多轴铣床就会产生新的物理模型，将其与原来的设计相比较，对其形状进行修正和调整，直到设计团队对它们之间的匹配程度感到满意。汽车的设计人员也使用同样的策略，他们将用毡尖笔徒手绘制的素描、小心捏塑的黏土模型与先进的计算机仿真相结合，从而完成其设计。

此时，计算机方法的突出优势就变得很明显了。回忆阿鲁普及其团队在估计给定壳的几何形状对其穹顶结构属性的影响时所遇到的问题。对每种几何形状，挤压力、张力、偏移和旋转力的计算都需要一套庞大的新数据、重新配置的软件版本以及新的漫长的计算机分析，而这些用现今的几何建模系统和快速计算机很容易就能实现， FEM（Finite Element Method，有限元方法）的思想是用平面区域近似估计表面，是其中的关键技术。增加线性结构与表面间的接触点数目会提高估计精度，但却增加了需要求解的方程组中的方程个数。事实上，这类方程组现在可以用高性能计算机来迅速求解，从而使FEM能精确、高效地分析复杂结构的物理性质。通过使用FEM，可以对结构的弯曲和扭转进行仿真，将应力分布和位移用视觉呈现，研究结构内部及四周的气流、热条件的影响以及声响品质。使用这种技术可以在建造前对设计进行数字化分析、完善和最优化。(www.xing528.com)

盖里在最终确定毕尔巴鄂古根海姆博物馆的设计方案并弄清其性能特性以后，就开始施工了。这一过程得到了计算机辅助制造（CAM）的协助。正如激光打印机自动将文本文件翻译并转换成打印纸输出一样，CAM制造机械将三维数字文件转化为原尺寸的实物，这一工作可以高速完成且精度几乎丝毫不差。数字控制的激光切割机、水射流切割机和刨槽机能把平面材料高效地切割、塑形并转变成复杂的形状。多轴铣床更进一步发展为计算机控制的三维构件制造。通过这些步骤，CAM技术竖立起博物馆复杂的大型钢主框架结构，它分为几个3米见方的模块。该框架的抽象几何图形并不是对称的，也没有重复，但还是要求有很高的精度。古根海姆博物馆的钢主框架结构和外部表面之间有好几层。内层由镀锌钢管制成，按水平梯形图案排列，确立了外层的水平曲线。该层用可以向各方向调节的接头与主结构相连。另有一层承载着镀锌钢盖板，它的内侧铺着保温层，外侧有沥青防水薄膜。它确定了外部的垂直曲线，主结构和这些层可以根据温度情况而胀缩。建筑外表面多数都用到钛板，钛经过化学处理，由CAM机切割成平板。工人现场弯曲或扭动这些板子，将它们安装到弯曲结构上并进行连接。镀钛区中的80％只需要4种标准尺寸，剩余的20％需要16种不同的板子。流线型的钛板赋予博物馆如雕塑一般的复杂外形（钛的成本很高，但就在要用它来进行施工时，世界上最大的钛产地俄罗斯将数量庞大的钛投放到了到市场上，这样就以难以想象的低价购买了所有需要有钛）。外部也有大量的石头表面以及钢和玻璃幕墙，这些都是在三维计算机控制的CAM机的协助下制作完成的。建筑材料的装配得到以三维解析几何为原理的激光定位设备的帮助，由计算机驱动的机器人来完成。施工过程中共使用了25084平方米的钛，6132平方米的玻璃以及3．4万立方米的石灰石。其成本为l亿美元，建设时间为6年，二者都没有超过大博物馆计划的标准。

1997年，毕尔巴鄂古根海姆博物馆向公众开放，很快被评为世界上最壮观的建筑之一。图9－39展示了这座开创性建筑的外貌。建筑师菲利普·约翰逊称其为“我们这个时代最伟大的建筑”。“毕尔巴鄂效应”促进了该城部分地区的新生，使毕尔巴鄂成为地图上的旅游胜地。

图9－39 毕尔巴鄂古根海姆博物馆

约恩·伍重的悉尼歌剧院和弗兰克·盖里的毕尔巴鄂古根海姆博物馆都成为让公众神往的地标性建筑。然而伍重不得不依靠手工绘制的素描及手制的模型来探讨其视觉、空间和结构效果，而盖里能调用可视化软件来产生，甚至几乎立刻就产生他所需要的任何场景和信息。悉尼歌剧院精妙的球体方案便于施工，建成的壳外形优美，但它们的几何形状却比伍重最初构想的满帆形要呆板和生硬。盖里设计的毕尔巴鄂古根海姆博物馆则是自由生动的雕塑形状，在那时，这类形状的精确分析和施工都已不成问题，建筑恰如现代艺术，如今能创造、探索并追求几乎任何能想象到的形式。

通过以上两个实例的分析，使我们看到，数学思维为建筑设计拓展了思维空间，创造了灵感，数学计算使建筑变得完美，数学原理的应用使建筑更具美感。

数学赋予了建筑活力，同时它的美被建筑表现得淋漓尽致。所以，建筑离不开数学，数学又无时无刻不在建筑之中。

【思考题】

1．谈谈数学与建筑的关系。

2．举例说明你所观察到的建筑中的数学之美。