古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理（公设），在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出了《几何原本》，形成欧氏几何。阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262—前190）写出的《圆锥曲线论》一书，对椭圆、抛物线和双曲线进行了全面的研究。欧氏几何按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。
建筑物是由各种构成要素如墙、门、窗、台基、屋顶等组成的。这些构成要素具有一定的形状、大小、色彩和质感，而形状（及其大小）又可抽象为点、线、面、体（及其度量）。许多优秀古典建筑作品不论是平面形状、体形组合乃至细部处理，都以几种简单的几何图形作为构图的依据，从而获得了高度的完整统一性。
（1）花窗中的几何图形
花窗中的几何图形有多种多样，举例说明如图9－2所示。
图9－2 花窗中的几何图形
（2）拱劵
拱是建筑上跨越空间的方法。拱、拱劵、拱门、拱形结构（arch）都是指能横跨一段水平距离的垂直结构部件。通常它是弯曲的，内含被称为拱石的楔形块。它能承重，也能用于装饰。罗马拱是半圆形拱，哥特拱是尖拱。伊斯兰建筑使用尖拱、双拱、马蹄形拱和洋葱形拱。洋葱形拱是尖拱，它的3种主要类型是简拱顶、十字拱顶和肋拱顶。图9－3为各种拱形示例图。
图9－3 各种拱形示例图
拱的性质使应力可以比较均匀地通体分布，从而避免集中在中央。楔形拱石构成拱的曲线，中央是拱顶石。所有的石头构成一个重力触发的锁定机构，重力的拉力使拱侧向外展开（推力），反抗推力的是墙或扶壁的力。
图9－4为拱劵内切圆窗的一些设计图。
图9－4 拱劵内切圆窗设计
（3）拱劵中的相关数学问题举例
1）等边哥特拱作图法。如图9－5（a）所示，分别以点A和B为圆心，以AB为半径作圆弧，交于点C。
问题：已知AB＝a，求拱的面积。
2）二心外心桃尖拱作图法。如图9－5（b）所示，平分AB于点C，分别以AC和CB为边长作正方形。以点C为圆心、CE为半径作圆弧，交AB、BA的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心，GB、HA为半径作圆弧，交于I点。
问题：已知AB＝2a，求拱高CI。
3）二心内心桃尖拱作图法。如图9－5（c）所示，三等分AB于点E、F，分别以点E、F为圆心，EB、FA为半径作圆弧，交于D点。
问题：已知AB＝6a，求拱高CD。
图9－5 拱劵中的相关数学问题举例
2．历史上伟大的建筑所展现出的与欧氏几何学间的联系
（1）帕特农神庙
古希腊的雅典在公元前500年—前350年间达到鼎盛时期。雅典卫城矗立在雅典中心的石山之上，这是雅典娜的圣地（雅典娜是雅典的女守护神，是和平、智慧及艺术女神）。卫城里聚集了大量的神庙，最重要的一座就是帕特农神庙，如图9－6所示。它建在石山的顶峰，由大理石建造而成，平面呈矩形，神庙前后两面各有8根柱子，侧面每边各有17根柱子。帕特农神庙的正立面的各种比例尺度一直被作为古典建筑的典范，多立克柱式比例和谐，视觉校正技术运用纯熟，山花雕刻丰富华美。整个建筑既庄严肃穆又不失精美，被美术史家称为“人类文化的最高表征”“世界美术的王冠”。
图9－6 雅典的帕特农神庙外形
帕特农神庙的多立克柱式被公认为是最出色的范例。John Julius Norwich指神庙：“欣赏这座最完美的多立克神庙，就算是古老的遗迹，其建筑学上的高尚也是富有传奇性的，特别是柱基的曲度、逐渐向内成锥形的内殿墙壁以及圆柱的收分曲线之间微妙的一致性。”柱基是安置柱子的平台，就像其他经典的希腊神庙，它有微妙向上倾斜的曲度，使得雨水可以排掉。这些柱子看似向外倾斜，实际上则是微向内倾斜，而且高度一致地从外层柱座边缘弯向天花板。柱子的粗细变化符合人们认真计算过的精密曲线，平行的垂直凹槽使其外表面更加美观。
图9－7 帕特农神庙平面图
测量最高的一阶，帕特农神庙的地基大小为69．5米×30．9米（228．0英尺×101．4英尺），内殿为29．8米长× 19．2米宽（97．8英尺×63．0英尺），由其内部的两列多立克式柱为主结构撑起屋顶。从外量，柱的直径为1．9米（6．2英尺）、高度为10．4米（34．1英尺），角柱的直径稍微大一些。梁柱部分，外有46根，内有19根（图9－7）。柱基在东、西的末端向上弯向中央60毫米（2．36英寸）以及侧边110毫米（4．33英寸）。屋顶是以板瓦大理石砖铺盖而成。巨大坚固的柱子支撑着大理石板，檐壁位于石板上方，它是一行水平安放的带雕刻的大理石部件。檐壁支撑着三角形的山花，上面装饰着希腊神话中狂欢的场面的浮雕。目前只残留了局部山花。
关于帕特农神庙其比例的详细论述见本章后面的介绍。(www.xing528.com)
（2）古罗马建筑的拱与穹顶
公元前600年—公元400年，罗马文明紧随希腊文明变得繁荣昌盛起来。公元前1世纪，罗马已把它的帝国扩展到整个地中海地区。罗马建筑受到希腊建筑原理和设计的巨大影响，其共同特点是垂直的柱式、水平构件和三角形构件。但罗马建筑还大量运用了曲线，用拱券和拱顶构筑空间。
在建筑的所有元素中，罗马人最大的贡献就是拱门的建筑，他们首先开始使用拱形结构，在这些建筑中有大量的拱门。其他文明中也使用拱及与其相关的形式，如穹顶和拱顶，但只有在罗马人的手中，它们才能成为一种新型建筑的基本元素。通过利用石头抗挤压性强的特性，拱能横跨大型空间。半圆拱券尤其容易建造，罗马人把它们广泛地用于建设桥梁、高架引水渠（图9－8）、竞技场（图9－9）、神庙和别墅。
古罗马的拱券结构主要有4种形式：筒拱、交叉拱、十字拱和穹隆。筒拱是一个拱券呈直线或连续铺开形成的。交叉拱是由两个拱筒垂直交叉形成的，其内部空间开阔，并有利于采光。十字拱是由两个跨度相同的筒拱相交而成，拱顶的重量由四角的墩子承担，不需承重墙，因此空间更为开敞。穹窿是由拱旋转一圈而成，空间更为宏大。
图9－8 高架引水渠
图9－9 竞技场
罗马古迹万神殿是至今保存完整的唯一一座罗马帝国时期的建筑，始建于公元前27－25年，由罗马帝国首任皇帝屋大卫的女婿阿戈利巴建造。现今所见的万神殿主体建筑是哈德良皇帝于公元120－124年所建，用以供奉奥林匹亚山上诸神，可谓奥古斯都时期的经典建筑。它是一座带有大型圆柱形墙、宏伟的半球形穹顶、精美的门廊和富有古典内部装饰的神庙，它将罗马工程师的力量和希腊的审美形式结合在一起。万神殿的穹顶被认为是传达美与力量的完美形式。其圆形结构的直径为43米，穹顶的最高点离地面约43米。为了采光与透气，它的顶部有一个圆形的开口，直径约7．3米。除了入口，圆孔是内部唯一的自然采光源。
万神殿的基础部分底部厚7．3米，墙和穹顶底部厚达6米，穹顶顶部厚1．5米。为使穹顶墙厚的递减更有利于万神殿整体建筑的稳固，万神殿穹顶内壁被整齐地划分为5排28格，每一格皆被由上而下雕凿凹陷，不仅使墙厚的递减更为合理，更增加了其内部的美观性。
为了减轻穹顶的重量，建筑师巧妙地在穹顶内表面作了28个凹格，分成5排。同时，在墙上有门的前提下还开了7个凹室作为祭龛，这些祭龛里原来放的可能是神像。还有一些名人的墓穴，如意大利统一后的第一个国王维克托·伊曼纽尔二世的墓和意大利文艺复兴时期的画家拉斐尔的墓。穹顶顶部的矢高和直径一样，也是43．3米，这样，万神殿的剖面恰好可以容得下一个整圆（图9－10），而其内部墙面两层分割也接近于黄金分割，因此万神殿常被作为通过几何形式达到构图和谐的古代实例。
图9－10 万神殿剖面
万神殿的正立面（图9－11）有一个长方形的柱廊，宽约34米，深达15．5米，有16根高12．5米的科林斯柱式的柱子，前排8根，中、后排各排立4根。这些柱子都是用花岗岩加工而成，柱身高12．5米，柱的底部直径为1．43米，柱头和柱的底座是用白色大理石加工而成的。
（3）圣索菲亚大教堂
拜占庭时期的建筑杰作——君士坦丁堡的圣索菲亚大教堂（Hagia Sophia，希腊语中Hagia意为“神圣的”，Sophia意为“智慧”）是世界上最伟大的建筑之一。它是在拜占庭皇帝查士丁尼统治期间，即公元532—537年这一极短时间内建成的。它的两个建筑师一个是物理学家、一个是数学家，精通几何学和工程。建筑的中心部分包含4个正方形排放的半圆拱劵，其顶部由一个半球形穹顶覆盖（图9－12）。
穹顶的圆形底面和4个拱劵形成了4个弯曲的三角形结构，称为帆拱，大型的支撑柱称为墩柱。圣索菲亚大教堂穹顶底部直径约32米，其最高点距底部为54．9米。穹顶下的一对大型拱劵通往半穹顶，半穹顶则通向凹室，它们一起给教堂提供了连续的76．2米长的空旷空间。穹顶底部围绕着有40个窗户的圆形拱廊，给人一种穹顶正漂浮在它所创造的高空中的感觉。教堂的内表面贴满了大理石、壁画和金色的马赛克。
图9－11 万神殿立面
图9－12 圣索菲亚大教堂
（4）萨伏伊别墅
萨伏伊别墅（图9－13）是现代主义建筑的经典作品之一，位于巴黎近郊的普瓦西（Poissy），由现代建筑大师勒·柯布西耶于1928年设计，1930年建成，使用钢筋混凝土结构。这幢白房子表面看起来平淡无奇，简单的柏拉图形体和平整的白色粉刷外墙，简单到几乎没有任何多余装饰的程度，“唯一的可以称为装饰部件的是横向长窗，这是为了能最大限度地让光线射入”。
图9－13 萨伏伊别墅外观
萨伏伊别墅是勒·柯布西耶纯粹主义的杰作，是一个完美的功能主义作品，甚至是勒·柯布西耶的作品中最能体现其建筑观点的作品之一。别墅在设计之初，柯布西耶原本的意图是用这种简约的、工业化的方法去建造大量低造价的平民住宅，没想到老百姓还没来得及接受，却让有亿万家产的年轻的萨伏伊女士相中，于是成就了一件伟大的作品，它所表现出的现代建筑原则影响了半个多世纪的建筑走向。
萨伏伊别墅是一个完美的功能美学作品，其基地是位于普瓦西的一片开阔地带，中心略微隆起。地段面积4．9公顷（12英亩），宅基为矩形，长约21．5米，宽为19米，共3层，图9－14为萨伏伊别墅平面图。
底层（柱托的架空层）三面透空。一层由支柱架起，内有门厅、车库和仆人用房，是由弧形玻璃窗所包围的开敞结构。二层有起居室、卧室、厨房、餐室、屋顶花园和一个半开敞的休息空间。三层为主卧室和屋顶花园，各层之间以螺旋形的楼梯和折形的坡道相连，建筑室内外都没有装饰线脚，用了一些曲线形墙体以增加变化。
萨伏伊别墅在设计上与以往的欧洲住宅区别很大，轮廓简单，像一个白色的方盒子被细柱支起。水平长窗平阔舒展，外墙光洁，无任何装饰，但光影变化丰富。别墅虽然外形简单，但内部空间复杂，如同一个内部精巧镂空的几何体，又好像一架复杂的机器。该建筑采用了钢筋混凝土框架结构，平面和空间布局自由，空间相互穿插，内外彼此贯通，它外观轻巧、空间通透、装修简洁，与造型沉重、空间封闭、装修繁琐的古典豪宅形成了强烈的对比。
萨伏伊别墅深刻地体现了现代主义建筑所提倡的新的建筑美学原则。表现手法和建造手段相统一，建筑形体和内部功能配合，建筑形象合乎逻辑性，构图上灵活均衡而非对称，处理手法简洁，体型纯净，在建筑艺术中吸取视觉艺术的新成果等，这些建筑设计理念启发和影响着无数建筑师。即便是到了今天，现代主义的建筑仍为诸多人士所青睐。因为它代表了进步、自然和纯粹，体现了建筑的最本质的特点。
在1926年出版的《建筑五要素》中，柯布西耶曾提出了新建筑的“五要素”，它们是：①底层的独立支柱；②屋顶花园；③自由平面；④自由立面；⑤横向长窗。萨伏伊别墅正是勒·柯布西耶提出的这“五要素”的具体体现，甚至可以说是最为恰当的范例，对建立和宣传现代主义建筑风格影响很大。
图9－14 萨伏伊别墅平面图
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