埃歇尔的无穷大作品及数学魅力

数学是一项巨大的事业，数学思维和技能可以在许多不同的层次上以许多不同的方式加以实践，其实践者也各色各样；艺术也是一项巨大的事业，其实践者从知名艺术家、被媒体所追捧的改革者或者也可能是社会问题的评论员，到在当地市场中出售雕刻装饰的陶瓷手艺人。

我们毫不吃惊地发现数学能使艺术产生灵感，且艺术也能使数学产生灵感。在搜寻数学与艺术之间的互动作用时，我们吃惊地发现很容易找到这样的例子。

埃歇尔将与无穷大有关的作品分成3类：①无止境循环；②平面的规则分割；③极限。

在第一类无止境循环中，埃歇尔通过在二维画布上画出永恒运动，这个使现实世界中一代代的发明家和空想家感到困难的东西，表现了他对节奏、规律性和周期性的强烈爱好。这些图画总是使用某种精妙的螺旋图案或是隐藏的“秘诀”，因此它们体现着某些奇异风格，好像埃歇尔喜欢取笑自然规律一样。用他自己的话说：“我禁不住嘲笑我们所有不动摇的必然性。比如说，故意地混淆二维和三维、平面和空间，或者取笑万有引力，是一种极为有趣的事。”我们可以看到在作品《瀑布（永恒运动）》（1961）（图8－9）中，他巧妙地改变了建筑物轮廓的开关，结果呈现给我们一种荒诞的情景：一股水流沿着一条封闭的环行道无止境地流着，当水流下时带动一个轮子转动——一种以自身能量为能源的机器。水从左上方倾倒下来，推动了轮子，然后水在水渠里继续流动，是往上流，不，好像是平着流。终于水又回到了原地，再次从上面倾倒下来推动了轮子……“永恒的运动”。

在作品《上升和下降》（1960）（图8－10）中，埃歇尔精心地使用了透视画法规律，画出一队爬上楼梯的士兵。

第二类平面（在有些情况下是空间）的规则分割已经成为埃歇尔的标志。无休止地重复单一的基本图案，不重叠也不留任何空白的可能性，向他提出了一个无法抗拒的挑战：“它仍然是一个极有吸引力的活动，一种我已经上瘾的真正癖好，而且我有时发现很难使自己离开它。”但是与他从中受到极大启发的伊斯兰图案不同的是，埃歇尔的基本图案很少是抽象的；相反，它们是可以辨认的事物——人、鸟、鱼和取自日常生活的无生命物体。

图8－9 《瀑布（永恒运动）》

图8－10 《上升和下降》

在第三类极限中，为表达对完整无缺的无穷大符号的渴望，他试图找到表达一种从中心向外部的不断缩小的方法。他从加拿大数学家H．S．M·考克斯特的一本书《几何学导论》的插图中找到了这种方法。这一插图显示了用黑白曲边三角形做成的奇怪铺设。在一个圆内，两种颜色的三角形交替地摆放，并随着向圆周靠近而渐渐变小。从理论上说考克斯特的插图与庞加莱的非欧几何学模型有关，根据埃歇尔后来的描述，这幅插图当时给了他“很大的震惊”，使他从中产生灵感，创作出了4件艺术品：《圆的极限》的系列装饰画。无限的概念长时间吸引着埃歇尔，他一直在寻觅用视觉映像来描绘这一难以捉摸的概念，他采用的一种策略是设计连锁图形的重复模式，虽然埃歇尔能够想象这样的排列可以如何扩展到无限，但是他所画出的实际模式只是表现了一个无限扩张的碎片。

埃歇尔的具有无穷数学魅力的装饰画《圆的极限》以及其重复模式也证明了它们是讲授双曲几何的有用工具。

他的学生已经编制了生成双曲模型的计算机程序。特别是对那些以各种方式着色的用重复花纹做成的模型，数学家使用标准的记号来描述用相同图案拼成的马赛克，其中每块铺设都是一个给定边数的，且边长、顶点数均相同的多边形。用记号｛p， q｝来表示一种铺设方案，其中p表示每个多边形的边数，q表示在拼出的图案中每个顶点处交汇的多边形的个数。例如，一个在每个交汇处有6个等边三角形的铺设方案记作｛3，6｝。

同样的记号可以用到双曲平面的正则铺设中。在每点处相交有4个五边形的铺设记作｛5，4｝。一般地，对于有p条边的多边形，在顶点处有q个多边形相交的铺设，当（p－2）乘以（q－2）大于4时，所得结果是一个双曲铺设。

埃歇尔的《圆的极限Ⅳ》（图8－11），其特征是魔鬼和天使交替出现，就是一个｛6， 4｝型双曲铺设的例子。换句话说，它的基本格子是由六边形组成的，并且这些六边形在每个顶点处有4个六边形。(www.xing528.com)

图8－11 《圆的极限IV》

埃歇尔的《圆的极限Ⅳ》，就像是计算机生成的灰白形式的再现，它有一个基本的铺设模式，在此模式中每个顶点处有4个六边形相交。

让我们再来欣赏埃歇尔的两幅奇特的版画。

《白昼与黑夜》（图8－12）是一张博得广泛称誉的作品。作品下方是黑、白相错的菱形土地。目光引向上方，土地变成了鸟，黑鸟和白鸟互相填补。左边的白昼风景正好是右边黑色风景的反射。从左至右是白昼到黑夜的渐变过程，从上至下是飞鸟到土地的渐变过程。在这张版画中，我们同时看到由白天渐变为黑夜，由田地渐变为飞鸟的过程。而十分巧妙的是白鸟和黑鸟的外轮廓是互为连接、紧密排列的，各自向相反的方向飞去。对称形的构图颇有装饰意味，画面既具有美感又耐人寻味。我们似乎可以在这里领会到生物与土地不可分割的关系以及自然嬗变的交替与循环。

图8－12 《白昼与黑夜》

图8－13 《另一个世界》

《另一个世界》（图8－13）似乎是在宇宙飞船上所看到的星空景象，但又像置身于一间梦幻般的古旧建筑物中。房子有3个不同的视点，房间的中心点既像房间上半部的底点，又像房间下半部的顶点。从3个不同角度看房子外面的景色，好像是月球上的环形山及宇宙星空。窗口的人头鸟和类似于牛角的东西更增添了画面的神秘感。埃歇尔的版画向我们展现着一个神奇的世界、一个神秘莫测的谜。他的作品给予我们的不仅是美感，还能使我们从错觉中得到想象、发现和启示。

埃歇尔自己说，他追求的目标不仅是“美”，而更主要的是“奇”。他追求别人从未表现过的东西，研究绘画所能提供的可能性。绘画是形象化的语言，埃歇尔把许多用语言无法表达的思想用形象体现出来，把一些现实生活中不可能存在的事物用他的想象描绘出来。诸如永恒、无限、虚无、轮回等带来某些哲学意味的观念，在他的一些版画中都有形象的表现。埃歇尔用数学的头脑进行构思，以精密的计算进行草图，有严格的结构，有精确的规则。不仅如此，他还以极大的毅力和耐心，以一丝不苟的精神进行刻版制作。他自己说他创作那些作品时，简直伤透了脑筋。在1960年的一篇随笔（后来被翻译成英文并收录在埃歇尔的著作《埃歇尔绘画作品集》中）里，埃歇尔加了注释：“对于我的艺术的基本想法常常目击了我对于操纵我们周围的世界的自然规律的惊异和感叹……热切地面对我们周围谜一般的事物，通过对我所做的观察进行认真的思考和分析，我最终停留在数学领域。虽然我绝对没有受过严格的科学训练，但是我似乎经常与数学家比与我的艺术家同行有更多的共同点。”

历史上常常有许多新的事物、新的创造，在刚出现时常常受到冷落，不为世人重视。埃歇尔的新奇创作也是这样。然而埃歇尔却无视周围的压力，坚持走自己的道路，以锲而不舍的精神，执着地追求，辛勤地探索，在版画艺术上开辟了一个崭新的领域。

【思考题】

1．谈谈你所观察到的艺术作品中的数学美。

2．举例说明雕塑作品中的数学之美。