数学与音乐：源远流长的联系

数学与音乐的联系可以说是源远流长。在古时候，音乐可以说是数学的一部分或是数学的一个分支。

古希腊的毕达哥拉斯与他的弟子们都认真地研究过音乐。他们发现，单弦音质的变化（调和音乐）与单弦弦长之间存在比例关系：两根绷得一样紧的弦，若一根长是另一根长的两倍，就产生谐音，而且两个音正好相差八度。若两弦长之比为3∶2，则产生另一种谐音，此时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。事实上，产生每一种谐音的各种弦的长度都成正整数比，即音乐现象可以用数来解释。毕达哥拉斯学派关于谐音的研究对于其核心观念——万物皆数的形成起到了十分重要的作用。毕达哥拉斯把音乐解释为宇宙的普遍和谐，认为这种美丽旋律不过是数学的一种体现。

欧几里得也写过音乐方面的著作，研究过谐音的配合，制定过音阶。音乐成为古希腊灿烂文化的重要组成部分，并与数学紧密地联系在一起。

我国明代数学家朱载堉在一个八度音程内算出了十二音程值相等的半音，创造了“十二平均值”，成为基本的音乐理论。

在中世纪的欧洲，其所谓的“音乐”比今天的“音乐”范围要广得多，其意义可表述为“全宇宙的秩序”，而普通音乐则为器乐的音乐。

到文艺复兴时期，希腊文化的这种精神在欧洲传播。欧洲近代以来的众多科学家、数学家而不只是艺术家关心音乐。笛卡儿作为卓越的哲学家、数学家，他有一部著作名为《音乐概论》。莱布尼兹认为音乐是一种无意识的数学运算，这更直接地把音乐与数学联系起来，从某种意义上来讲，这也是后来出现的用数学结构分析音乐的思想先驱。

1732年，丹尼尔·伯努利在对弦乐器的研究中得到了一个二阶常微分方程：

它的解乃是一个零阶贝塞尔函数。

欧拉也曾利用二阶常微分方程作过类似的研究。丹尼尔·伯努利和欧拉还对各种管乐器（包括圆形的、锥形的）作过研究，碰到的大都是二阶偏微分方程，甚至是涉及三四个变量的偏微分方程。铃是一种敲击乐器，欧拉对铃的声音的研究还导出了复杂的四阶偏微分方程。欧拉作为有史以来最杰出的数学家之一，在他的一生中，对音乐有过许多深入研究，他有一部著作是《建立在确切的谐振原理基础上的音乐理论的新颖研究》，从而在18世纪30年代创立了一种新的音乐理念。

在18世纪的数学家中，除了丹尼尔·伯努利、欧拉外，还有泰勒、拉格朗日、约翰·伯努利等都研究过音乐。长笛、风琴、各种形式的管乐器、小号、军号、铃以及许多的弦乐器也被研究。至19世纪仍不乏其人，著名的数学家、物理学家亥姆霍兹即是其一，其中最突出的当属傅里叶。

傅里叶是19世纪初的一位法国数学家，他的研究虽从热的传导开始，建立了三角函数，可是他对乐谱的分析却也与三角函数联系起来。他证明了所有的声音，不管是复杂的还是简单的，都可以用数学公式进行全面描述，即美妙的音乐乐句也能表示成数学公式，他得到这样一个定理：

定理1 任何周期性声音（乐音）都可表示为形如asinbx的简单正弦函数之和。(www.xing528.com)

图8－1表示小提琴奏出的声乐，它的数学公式为

y＝0．06sin180000t＋0．02sin360000t＋0．01sin540000t

音乐声音的数学分析具有重大的实际意义。在再现声音的仪器中，如电话、无线收音机、电影、扬声器系统的设计方面，起决定作用的就是数学。

图8－1

傅里叶等人的工作还有着重要的哲学意义：艺术中最抽象的领域——音乐，可以转化为最抽象的科学——数学。最富有理性的学问与最富有感情的艺术有着密切的联系。

现代音乐与数学更是联系紧密。由于艺术创作都涉及整体与部分的关系，而表达这些关系不可避免地要采取数学方法；或者进一步地艺术构思要涉及更精细的数学模型来作为范例。例如，20世纪中后期的“先锋派”中的“序列音乐”（serial）就是采用数学方法来进行音乐创作的一个代表。序列音乐是西方现代主义音乐流派之一，亦称为序列主义。他们将音乐的各项要素（称为参数）事先按数学的排列组合编成序列，再按此规定创作音乐。序列音乐的技术摒弃了传统音乐的各种结构因素（如主题、乐句、乐段、音乐逻辑等），是20世纪50年代以后西方重要的作曲技法之一。最早且最简单的序列音乐应属A·勋伯格（Arnold Schoenb，1874—1951）所创立的十二音乐，其音列就是将音高次序列成一定的序列，然后按数学的优选方法用计算机创作乐曲。进一步走向序列音乐的是勋伯格的弟子韦贝恩，他在1936年所写的《钢琴变奏曲》第二乐章使用了音高在各音区分布的序列，以及发声与休止交替的序列。第二次世界大战后， P·布莱兹、O·梅西昂、K·施托克豪森、L·诺诺等一批作曲家逐步将韦贝恩的方法加以扩展，使节奏、时值、力度、密度、音色、起奏法、速度等都形成一定的序列，产生了所谓的整体序列主义，或全序列主义。在这方面进行理论探讨的还有M·巴比特、H ·普瑟尔，I．F·斯特拉文斯基晚年也应用了一些序列主义的手法，但比较自由。序列主义在电子音乐中也得到进一步的运用，各种参数常被编成序列通过电子计算机输入到电子合成器中。该派的代表人物、法国作曲家梅西安认为，音乐创作可用数学记号、方程、计算来完成。他的代表作《时值和力度的列式》《节奏习作》等，都有意识地把音高、力度、时值、音色等全部音乐因素予以序列化，纳入计算，从而产生了所谓的“全面序列音乐”。

另一个例子是所谓的“分形音乐”，是由一个算法的多重迭代产生的，利用自相似原理来构建一些带有自相似小段的合成音乐。主题在带有小调的三番五次的反复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化。它所创造的效果听起来非常有趣。

有人甚至将著名的芒德勃罗集（M集）转化为音乐，取名为《倾听芒德勃罗集》。他们在芒德勃罗集上扫描，将其得到的数据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出芒德勃罗集的结构，极具音乐的表现力。分形音乐现已成为新音乐研究的最令人兴奋的领域。

上面我们谈的是数学对音乐的影响，而另一方面音乐对数学与科学也有重要的影响。据传，天文学家开普勒就坚信音乐与数学的和谐性可以帮助他发现行星的运行规律，对于他提出著名的“开普勒三定律”有着深刻的影响。另一个例子是薛定谔的波动力学。1926年，薛定谔决定根据物理学家德布罗意的物质波学说，对原子和电子运动作数学描述。由于这一理论与实验完美地相吻合，为此他于1933年获得了诺贝尔物理学奖。在此，我们强调的是薛定谔从古代数学家毕达哥拉斯的音乐与数之间的联系得到了启示。德布罗意的思路是相对论式的，而薛定谔的思路则是音乐式的。人们早已知道，琴弦、风琴管的振动符合类似形式的波动方程。而一个波动方程，只要附加一定的数学条件，便会产生一些数列。薛定谔根据这种见解，创立了电子的波动方程：

这是一个关于x、y、z的二阶偏微分方程，其解称为波函数。式中m表示电子的质量， E是总能量，V是势能，h是普朗克常数。式中m、E、V体现着电子的微粒性，而φ则体现着电子的波动性，它把电子的波粒二象性完美地结合起来，完满地解释了微观粒子的运动，就像牛顿方程完满地解释宏观运动那样。我们可以说，音乐孕育了一批杰出的科学家。

我国现代数学家、原安徽师范大学数学系主任雷垣教授，不仅精通数学，同时精通音乐。他早年曾在上海一所音乐学校读过3年音乐，后来又去美国学习数学，并曾做过著名钢琴家傅聪的钢琴启蒙老师。他说，之所以他从音乐改数学，是因为数学与音乐的关系最为密切，它们在对真善美的追求上是一致的。