费马大猜想：费马最后定理的突破

1．费马大猜想

费马大猜想又称为费马大定理、费马最后定理、费马问题。

（1）由来

1621年，公元3世纪希腊的著名数学家丢番图的《算术》一书刚刚被译成法文，20岁的费马便从书店里买了一套。他在书中关于不定方程x2＋y2＝z2的全部正整数解这一页上，用拉丁文写了一段话：“任何一个数的立方，不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分解成两个数的四次方之和；一般来说，任何次幂，除平方以外，不可能分解成其他两个同次幂之和。我已经找到一个绝妙的证明，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

这段页端的笔记，用数学言语来表达就是：形如xn＋yn＝zn的方程，当n＞2时，不可能有正整数解。

事实上，费马是一个十分活跃的业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，这位律师兼议会的议员对数论、解析几何、概率论、微积分都有很多重大贡献，但他生前几乎没有出版过什么著作。他的著作大都是在他逝世后，由他儿子把他的手稿和与别人往来的书信整理出版的。其中他儿子在翻阅他那本丢番图的书时，发现了那段写在页眉上的话。1670年，他的儿子出版了费马的这一个页端笔记，人们便知道了这一问题。

费马问题的迷人之处，在于它的内容如此简单，引起了数学家的注意，许多大数学家为解决费马问题花了不少心血，也取得了一定的进展。

（2）艰难的证明旅程

起初数学家们想重新找到费马没有写出来的那个“绝妙证明”一举把这个定理彻底证明，但是谁也没有成功。

于是，人们开始逐个证明。300多年来，很多数学家钻研了这个问题，但也只能证明某些特殊情形：

1）著名数学家欧拉证明了方程x3＋y3＝z3和x4＋y4＝z4不可能有正整数解。

2）狄里克雷、勒让德（1823年）证明了n＝5的情形。狄里克雷、莱梅、勒贝格（1840年）证明了n＝7的情形。就这样，沿着一个又一个奇素数证下去的长征便开始了。

3）1849年德国数学家库默尔用近世代数的方法，引入他自己发现的“理想数”的概念，指出费马问题只可能在n等于某些值时，才有可能不正确，所以只需对这些值进行研究。

研究费马问题最有成就的要数德国数学家库默尔（Kummer，1810—1893），他几乎用了一生的时间来研究这个问题。虽然他没有最终解决，但是提出了一整套的数学理论，推动了数学的发展。法国科学院为了表彰库默尔的贡献，给他发了奖。

还有的数学家自以为解决了费马问题而欣喜若狂，但是后来有人指出证明中有错误，结果是一场空欢喜。例如，数学家莱梅、勒贝格。

勒贝格晚年沉迷于解决费马问题，他特别指出，在100以内，只有37，59，67这3个数是要考虑的。他还具体证明了当n＝37，n＝59，n＝67时方程xn＋yn＝zn无正整数解。于是，他证明了n＜100的情形。

到20世纪上半叶，数学家把证明推到奇数n＝619。在1850年及1853年，法国科学院曾两次悬赏征解，都未收到正确的解答。

4）1908年，德国科学家沃尔夫斯克尔逝世的时候，他把十万马克捐献给德国哥廷根数学会，作为费马问题的解答奖金。按照哥廷根数学会宣布的决定，奖金在100年内有效，即到公元2007年有效。哥廷根数学会不负责审查稿件。论文在公开发行的书籍或者杂志上发表两年以后，才能考虑评奖。

霎时间，除了专搞数学一行的人以外很多工程师、牧师、教员、大中学校学生，银行职员、政府官员和一般市民，都风起云涌地钻研该问题。在很短的时间内，各种刊物公布的证明就超过了1000个。

当时德国有一个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定。到1911年初为止，它共审查了111个“证明”，全都是错误的。审稿的沉重负担，实在使该杂志承受不起，于是宣布停止这方面的审查鉴定工作，但是证明的热潮继续汹涌澎湃，直到第一次世界大战的枪声响起，证明工作才转入低潮。

在这阵疯狂似的浪潮面前，朗道想了一个主意，印制一份复函的标准格式，即：

亲爱的先生（女士）：您对费马最后定理的证明已经收到，现予退回。您第一处的错误出现在第 页第 行。

丹吉格不无遗憾地指出：“我们非常赞许这些人的热情，但是可惜得很，他们之中的大多数人对于前人的成果几乎毫无所知，甚至连库默尔那样的创造性贡献也不了解。当然，并不是说非要库默尔的方法才行，不过，他已经替我们进行这方面的研究数十年……”。

由于德国是第二次世界大战的战败国，马克多次大幅贬值，所以10万马克折合成今天的马克也不值几个钱。不过热爱科学的数学家们，仍有很多人在继续从事着这一工作。

1976年美国数学家证明了2＜n＜100000的情形。美国贝尔实验室的罗纳德·格雷厄姆说：“数学家已经用电子计算机证实，对直至100000的n，这个费马猜想都成立。”

据1978年报道，已经证明到当2＜n＜125000的奇素数以及它们的倍数时的情形。

n＞125000的奇数情形也证明了不少，据说最大的奇素数n已接近41000000左右。

（3）费马问题的重大突破

1983年夏，德国伍伯塔尔（Wuppertal）大学29岁的数学讲师格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）出人意料地证明了被认为20世纪是绝不可能解决的代数之谜莫德尔猜想，从而使费马问题获得重大突破。这里简单介绍一下莫德尔猜想以及与费马问题的关系。

1922年，著名的英国数论学者刘易斯．J·莫德尔（Lewis J Mordell）在《剑桥哲学会学报》上发表了一篇文章，文中提出：“如果F（x，y）＝0的亏格≥2，那么F（x，y）至多只有有限组有理数解。”

简单、通俗地说明如下：

相当大的一类代数曲线（解释何谓“一类＂代数曲线，需要太多的数学知识）上最多只有有限多个有理点。上面的xn＋yn＝zn（n＞2）也包括在这一类中。

数学家怀尔斯（Andrew Wiles，1953—）花了18个月的工夫证明了这一猜想。他的证明是一份40页的打印稿，不是代数、几何方面专家的数学家，要想看懂这个证明，非得下一番工夫不可，因为证明中用了大量的代数、几何方面的近代成果。它与费马问题的关系是：实际上，相伴曲面上至少有两个洞的各类方程一般是至少4次的方程，其中最著名的就是所谓费马曲线。这个猜想的另一种形式是

即xn＋yn＝zn没有非平凡有理数解（n＞3）。就是说，当n为奇数时，只有两个平凡的有理数解：

当n为偶数时，只有4组平凡的有理数解：

这就是说，它证明了

如果有正整数解，解的个数是有限的（或者说，费马问题不成立的可能情形至多有有限个），这一结论与费马问题的解决还差了一大截，但却是公认的在库默尔之后最重要的进展，并由此形成了一个新的数学分支——算术代数几何。

1984年10月，美国南加利福尼亚大学艾德曼和英、法两国的几位数学家都部分地证明了费马大定理，这被称为攻克费马大定理历史上的辉煌进展。1986年怀尔斯因此获得当年的菲尔茨奖。

对于费马问题人类已经进行了300多年的大规模探索，企图用初等数论的方法来解它，大概是不可能的。在探索的过程中，数学家创造了不少新颖的数学方法，新的数学概念、定理，发现包括代数数论在内的一些新分支。据说20世纪最伟大数学家之一希尔伯特曾声称他能够解开这个难题，可是由于在求解此问题的过程中给数学的发展创造了不少新的途径，因此，他曾满怀深情地说：“我应当更加注意，不要杀掉这只经常能为我们生出金蛋的母鸡。”后来他又说：“我不是不能证明或否认这个定理，但是要做这件事，我至少要花3年的时间去研究许许多多问题，而到头来，还可能失败。”因此，他放弃了这个企图。

今天，这条定理仍然是业余数学爱好者很感兴趣的诱惑品，正如美国数学家爱德瓦德说的那样：“数学家经常漂游于还未解决的问题的汪洋大海之中，但是力图解决费马最后定理在将来正如过去一样，它给我们带来数学上的重大进展。”

1997年6月，大约500多人聚集在德国哥廷根大学，参加为普林斯顿大学怀尔斯教授颁发一项大奖的典礼，就是上述提到的10万马克奖。

2．哥德巴赫猜想

（1）由来与提法

哥德巴赫本来是德国（普鲁士）派往俄罗斯的一位公使，但后来他却成了一名数学家。

哥德巴赫和费马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。不过他在数学上的成就和声望远不如费马，他是彼得堡科学院院士。他与欧拉经常通信，有15年以上的通信历史，经常讨论的是一些数学问题。

1742年6月17日，他写信告诉当时住在俄国的大数学家欧拉，说他想冒险发表一个猜想：“大于5的任何数是3个素数的和”（注：当时人们把1看成是特殊的素数，后来才把1与素数严格区别开来）。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。”

这次通信的内容传播出来后，当时数学界把他们两人通信中谈到的问题，称为哥德巴赫问题。后来被归纳为：

命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和。

命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为3个奇素数的和。这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上应是哥德巴赫—欧拉猜想。

比如

当然，表示方法可能很多。例如：

显然，如果命题A成立，则命题B成立（事实上，假设N是大于或者等于6的偶数。命题A成立，就是存在着奇素数P1与P2，使得N·3＝P1＋P2，这就是N＝3 P1＋P2）。

反之，如果命题B成立，并不能保证命题A就一定成立。(www.xing528.com)

（2）艰难的探索

整个19世纪结束时，尽管很多大数学家都研究过它，但哥德巴赫问题的研究没有任何进展。曾有人做了些具体的验证工作，直到33×106（3300万）以内的偶数都是对的。问题是较大的偶数怎么样？

1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上，提出了23个著名的难题，哥德巴赫问题曾被第8个问题所涉及。1912年在第五届国际数学家大会上，著名的数论大师兰道在报告中说：“即使要证明下面的较弱的命题‘任何大于4的正整数，都能表示为c个素数之和’，这也是现代数学力所不能及的。”

过了9年，到了1921年，著名数论大师哈代（Godfrey Harold－Hardy，1887—1947）在哥本哈根召开的国际数学会议上说：“哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比拟。”哈代也认为要证明哥德巴赫赫猜想是极其困难的，但是不像兰道说的那样绝对。

但是，20世纪数学迅速发展的事实，响亮地回答了兰道的挑战。

1937年，苏联著名数学家伊·维诺格拉多夫，应用英国数学家哈代和李特伍德创造的“圆法”和他自己创造的“三角和法”证明了充分大的奇数，都可以表示为3个奇素数之和。

他基本上解决了命题B，其结论通常被称为“三素数定理”。事实上，命题B所说的是每一个大于或者等于9的奇数，都可表示为3个奇素数之和。所谓充分大，比方说10万，但对于剩下的那一部分从9到10万的有限个奇数，命题B真否，留待以后去检验。

华罗庚于1938年证明了几乎所有偶数都能表示为两奇素数的和，也即哥德巴赫猜想几乎对所有偶数都成立（1941年华罗庚还证明了N＝Pk1＋Pk2＋Pk3（k∈N），P1、P2、P3为奇素数，N为充分大奇数）。

命题B基本上被解决了，有人认为只差一步就到命题A了，谁知这一步的腿迈出了50多年还没有着地。

数学家们一般遇到一些困难的理论问题时，往往有两种方式去进行求解：

一是直接地去求证问题的结论，即把N奇＝P1＋P2＋P3（其中Pi（i＝1，2，3）为奇数，N奇≥9）这类式子理解为一个方程式，当P1、P2、P3限制在素数范围内时，解答个数记为I（依赖于N），那么它是否大于0呢？这就引出了对I进行估算的问题，最早对它进行研究的有英国数学家哈代和李特伍德，而成功地做出直接贡献的有苏联数学家伊·维诺格拉多夫和我国数学家华罗庚等人。

另一个方面的研究是将问题先削弱一些，然后逐步逼近而力争解决，这里又分了两个途径。

1）弱型哥德巴赫问题。先将N写成一些素数的和：

分析 希望总有一种较好的方法，使得k越小越好，特别当N为偶数时，若能证明当k＝2时有解（即有素数P1＋P2使其和为给定的N），则原来的命题A就解决了。现在放宽来研究，当N给定之后，能做到怎样的k，使k个素数之和为N。（目标）

2）因子哥德巴赫问题。先将偶数N写成两个自然数之和：

而n1与n2里的素因子个数记为a1与a2，简记为（a1，a2），或写成“a1＋a”，也称为“殆素数问题”，即是否每一个充分大的偶数都可表示成两个殆素数之和（其中殆素数即指素因子的个数不超过某一固定常数的自然数，如25，26，27，28，29，30。25，26，29是素因子不超过2的殆素数，其余不是，但都是不超过3的殆素数）。

分析 假若能证明对于每一个偶数N，总有a1＝a2＝1，也即“1＋1”，猜想就成立了。

坚固无比的堡垒正被逐渐攻破。

3．四色问题

（1）由来

四色问题又称为四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。1852年，毕业于伦敦大学的弗朗西斯·古斯里（Francis Guthrie，1831—1899）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都染上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟弗里德里克·古斯里决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作却还没有进展。用数学语言表示这一问题，即“将平面任意地区细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这4个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”，如图7－1所示。

图7－1

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩根，摩根也没能找到解决这个问题的途径。于是，摩根写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩根的信后，对四色问题进行论证，但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题。1878年，他把这个问题公开通报给伦敦数学会的成员，征求证明，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878—1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有3个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（图7－2），即为正规地图，否则为非正规地图（图7－3）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起的，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色。如果有一张需要5种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

图7－2

图7－3

肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”。如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于6个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了，这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”。但是后来人们发现他错了。

不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有2个、3个、4个或5个邻国，不存在每个国家都有6个或更多个邻国的正规地图。也就是说，由两个邻国、3个邻国、4个或5个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这4种构形中的一个（图7－4）。

图7－4

肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有4个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有5个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用5种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但都一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想，证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用4种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。

高速数字计算机的发明，促使更多数学家参与对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣布四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。

他把每个国家的首都都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都（称为顶点）及铁路（称为弧或边）外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图（图7－5）。到了20世纪60年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

图7－5

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制了一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿个判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。

这是100多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

四色问题的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在四色问题的研究过程中，不少新的数学理论也随之产生，因而发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，四色问题在有效地设计航空班机日程表、设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

（2）四色问题的余波与新思考

四色问题的研究促进了数学的发展，一个重要的收获是人们把地球仪上的着色问题加以推广，研究了各式各样形状物体表面的地图着色问题，提出了更为广泛的猜想。如其中一则猜想就是：画在像自行车的内胎或救生圈形状的物体表面的任何正规地图，需要7种颜色就够了。这也已得到了证明。

这一成果轰动世界，同时也引起了很大的反响，其中持怀疑或保留态度的大有人在。还有一些数学家从哲理上提出了不少新问题。

1）由于计算机证明十分繁复，为此人们提出了一个问题：对于四色定理有没有可能在将来给出一个手算的证明？会不会有一些定理的证明从根本上来说其工作量不借助计算机就不能完成？

2）如果这种计算机证明的程序达400页，在大型计算机上运算1200小时，谁去核算？用什么办法？用计算机吗？要是检验的机器又发生错误了呢？奥尔关于40国以下的地图可用四色着色的证明，用很简练的文笔写出也在百页以上，很少有人愿意去检查这种证明，但从来无人表示过怀疑。人们对于手算的证明为什么比计算机证明还要信任？

（3）余波未息

电子计算机越来越深入到数学的各个领域。近年来，关于一个大数素数性的检验，关于一个有限单群的构造性证明，以及初等几何、初等数论的机器证明理论的诞生，都说明它很可能成为数学思想发展史上一系列新想法的起点，其意义是巨大的。

前几年数学界传闻阿佩尔和哈肯关于四色问题的证明是错误的。这到底是怎么回事？1976年，他们用计算机检验1478种图形后，断言四色问题已解决，这一消息迅速传遍全世界，但是他们的证明对不对，却没有得到进一步的复验和证实。

著名概率学者杜勃（Doob）提出了一个杜勃定律：“随机地打开数学论文，在两页之内能找到一个错误。”阿佩尔和哈肯的上述论文发表之初，杜勃向哈肯打赌时说：“要5个月内一定会出现错误。”哈肯则提出补充：“当我注意到这个错误后，两星期内一定能加以改正。”结果是许多印刷错误和小的论证错误陆续被发现，但哈肯却能在两周内一一改正。

但是，论文中的错误仍不断地被发现。阿佩尔和哈肯一直忙于订正。他们把错误分成3类。第一类是小错误，几分钟即可改正；第二类是中等错误，改正它需要几小时；第三类是较大的错误，通常需要好几天才能改正它。1981年，U．施密特在他的博士论文中，将阿佩尔和哈肯的计算机证明中的计算机程序的40％，用手算方式逐一检验，结果发现了14个第一类小错误和1个第三类较大错误。这篇博士论文传送到世界各地，于是“计算机没有证明四色问题”的传闻随之而起。

许多读者向著名的数学杂志《数学信使》询问四色问题究竟对不对？该杂志请阿佩尔和哈肯回答。他们写了一篇《四色问题的证明是充分的》的文章刊登在该杂志第8卷第1期上（1986年）。文中试图介绍这一证明的原始思想，让读者了解怎样得到这一证明，并解释为什么在检验影响细节时突然出现的错误不会影响证明的正确性。他们最后表示：“我们将对我们证明中剩下的60％加以独立地核实。而且欢迎当找到进一步错误时能通知我们。我们已完成了对各种补充材料的计算机程序，打算出版原始证明的一种完全的校定本。”

看来传闻根据不足。但是，数学界对计算机证明的怀疑还远未消除，四色问题计算机证明的细节仍有待于进一步核实。