数学的简洁美-数学文化选粹

高度的统一与和谐又折射出简单，简单是一切真理的标记。法国哲学家狄德罗说：“所谓美的解答，是指一个困难复杂的问题的简单回答。”数学的简洁美表现在看似繁复庞杂的数学内容，却可以用十分简明的形式刻画出来，或用十分简洁的思想表达出来。

1．数学问题简洁

一个好的数学问题为了突出其本质的因素，必须是简洁的。而一个问题提得越简洁、越清晰易懂，也就越容易引起人们的兴趣。凡是经久不衰、引人入胜的数学问题，如三大尺规作图问题（用直尺和圆规求解倍立方、三等分任意角和化圆为方问题）、费马关于素数的猜想、七桥问题、哥德巴赫猜想等都是以极其简明而深刻的表述方式吸引着人们的注意，多么像引人垂涎欲滴的美丽果实，在诱使人们向它们伸出手来！而一旦把手伸出便欲罢不能。

2．数学语言简洁

数学语言的简洁美首先表现在数学中最基本的位值制上。0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9，这10个符号是全世界普遍采用的，它们表达了全部的（任何大小的）数，书写、运算也都十分方便。18世纪一位法国著名数学家曾说过：“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义，它之所以如此绝妙非常，正是由于这种简易的难以估量。”这里，关于“位置上的意义”，指的就是数字的进位表达或说是位值制。而且，不管是多大或多小的数字，表达起来都十分方便与简洁。例如， 1025这样巨大的数字，一般语言就说不太清楚，更不要说像1056950等更大的数字了；而10－25则是非常非常小的数字。比起0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个符号来，仅有0和1这两个符号的数字表示系统似乎更简洁了，但这要作具体分析。一方面，符号虽然减少了，但实际书写时，用二进位反而不如十进位简单。例如，在十进制中的两位数89，用二进制表示时却变为一个7位数1011001，可见书写时反而复杂了；而像十进制数字1015，要用二进制书写就更不方便、不简洁了。但另一方面，仅有0和1这两个符号的系统对电子计算机的运算却又是最合适不过的了。今日计算机的广泛应用，二进制功不可没。所以，简洁的概念有时也是相对的，我们不能绝对地去想象它。

数学符号是数学语言的基本成分，而数学语言是科学的语言，其独特之处在于普通语言是无法替代它的。数学符号有许多种，前面已提到了一些数字符号，还有代数的符号、几何的符号、集合的符号、运算的符号、函数的符号，等等。如字母x、y、z代表任何的变量，△表示三角形，⊙表示圆，等号是＝，∥表示平行关系，⊥表示垂直关系，简单明了，不仅简洁，而且反映了事物最内在的本质，减轻了想象的任务。再如，∫dy＝y＋c这样优美的式子，是在莱布尼兹符号下面才能出现的，优美且有效，理想与现实紧密地相连在一起。

现代科学离开了数学语言，就无法表达自己。越来越多的科学用数学语言表述自己，这不仅是因为数学语言的简洁，而且是因为数学语言的精确及其思想的普遍性与深刻性。例如，下面几个著名的定律：

第1、2两个式子分别是牛顿第一定律（惯性定律）和第二定律，第3个式子是万有引力定律。惯性定律讲的是，在没有外力的条件下，物体保持原来的运动（或静止）状态不变，然而简洁的数学式子F＝0⇒v＝c，就表达了定律的实质。牛顿第二定律讲的是，力和质量及加速度成正比，数学式子表达了其明确的比例关系；而当质量是常数的时候，式子可写为若用a表示加速度，则又可表述为F＝ma。万有引力定律讲的是，任何两个物体之间都有引力存在，其大小与两物体的质量之积成正比，与距离的平方成反比，数学式子是多么有力且简洁地刻画了这一思想。那个偶然从树上掉下来的苹果，却成了人类思想史上的一个转折点，促使牛顿发现了对人类具有划时代意义的万有引力定律。第4个式子是爱因斯坦的质能公式，它简洁而深刻地描述了质量与能量之间的关系，是现代原子科学的基础。第5个式子是阿基米德的杠杆原理，难怪阿基米德自豪地说：“给我一个支点，我就能撬动地球。”

还有从直角三角形中a2＋b2＝c2，立体几何中平面三角中微积分学中高等代数中线性方程组AX＝B的解为X＝A－1B（A≠0），复变函数中f（Z）满足的柯西－黎曼方程到数论中的无不说明这一点。平面上大小不同、形状各异的圆锥曲线都可以用形如的方程统一表示出来，仔细想想，怎不叫人惊叹呢！

如上分析，应当说数学的简洁美最主要的表现是在它对复杂的自然现象的简洁描述上。从人类的认识与实践活动的过程来看，经常有这样的现象：起初，人们以为某一事物比较复杂，甚至觉得其杂乱无章，当然也就更无美感可言。但随着认识的深入，特别是当用简洁的数学公式表述出它时，就会发现其结构、原理并不复杂，就更会感觉到它所蕴涵的意义，甚至越看越觉得简单，越看越欣赏它、喜欢它，越能感觉到它的美。

简洁性应当是科学家在科学研究中坚持的一个准则或目标。著名物理学家爱因斯坦就自称是一个到数学的简洁性中去寻找真理的唯一可靠源泉的人。在科学史上，我们可以看到不少关于数学的简洁性加强了科学家工作信心的例子。例如，从历史上看，哥白尼正是由于坚信“自然是喜爱简单性的”而坚持他的日心说。因为无论从我们肉眼的直接观察来看，还是从当时的科学观察数据来看，日心说在当时并不占据优势，当然，其中一个最大的优势就是把托勒密在地心说中引进的“本轮”由77个缩减到了33个，而正是这一“简化”成为当时许多科学家支持日心说的一个主要原因。在丹皮尔的《科学史》中描写了著名天文学家、被人们称为“天空的立法者”的开普勒的心路历程，因陋就简为哥白尼的体系具有更大的数学简单性与谐和的缘故。我从心灵的最深处证明它是真的，以难以相信的欢乐心情去欣赏它的美。(www.xing528.com)

3．数学概念简洁

数学概念是数学语言的精髓。不少数学概念已历经沧桑，内涵不断发生着深刻的变化，每一次变化都使得这个概念更加清晰、准确、简洁。怀特海说：“数学可以定义为相继用简单的概念来代替复杂的概念。”以函数概念为例，从1673年莱布尼兹给出的“函数就像曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动的量”的定义，到1821年柯西给出的“对于x的每个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y称为x的函数”的定义，再到近代的“设A、B是非空的集合，f是A到B的一个对应法则，则A到B的映射f：A→B称为A到B上的函数”的定义，其间经历了300多年，一次比一次深刻。

再如，我们可以通过“函数连续性”定义的演化过程略见一斑。关于函数的连续性问题，柯西在其《分析教程》中是这样定义的：

设f（x）是变量x的一个函数，并设对于介于给定两个限（界）之间的x值，这个函数总取一个有限且唯一的值。如果从包含在这两个界之间的一个x值开始，给变量x以一个无穷小增量a，函数本身就将得到一个增量，即差f（x＋α）－f（x）。这个差同时依赖于新变量a和原变量x的值。假定这一点之后，如果对于每一个在这两个限中间的x值，差f（x＋α）－f（x）的数值随着a的无限减小而无限减小，那么就说，在变量x的两限之间，函数f（x）是变量x的一个连续函数。换句话说，如果在这两限之间，变量的一个无穷小增量总产生函数自身的一个无穷小增量，那么函数f（x）在给定限之间对于x保持连续。

这一定义有的地方看起来像绕口令似的，对于初学的人既难记也难懂。魏尔斯特拉斯采用字母化方法，就把柯西要表达的意思更精确、更简洁地表达了出来，这就是至今沿用的ε－δ定义：

设f（x）是变量x的一个函数，如果给定任何一个正数ε都存在一个正数δ，使得对于区间｜x－x0｜＜δ内所有x的一个函数，如果给定任何一个正数ε都存在一个正数δ，使得对于区间｜x－x0｜＜δ内所有的x都有｜f（x）－f（x0）｜＜ε，则函数f（x）在点x＝x0处连续。

你看，这简洁美的神韵，不是跃然纸上了吗？

4．数学的证明简洁

马丁·伽德纳（Martin Cardner）指出：“数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法证明定理和解答问题。”简洁的证明，看上去思路自然，条理清晰，显示出数学证明不容辩驳的逻辑力量，给人带来美的享受。因此，追求简洁也是数学家重要的研究课题。英国数学家Atiyah说：“数学的目的就是用简单而基本的词汇尽可能多地解释世界……如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。”

对一个结果的证明如果很烦琐、冗长，人们读起来就会感到累赘且不得要领，甚至不知是对还是错。例如，美国数学家Louis de Brange花了30多年的时间于1984年证明了Bieberbach于1916年提出的一个猜想（关于单叶函数系数界的猜想），这是20世纪的一个重要的数学成就。但在数学界却遭到冷遇，原因之一是他的证明太长，整整写了350页。后来，他到了前苏联，在前苏联数学家的帮助下，将证明简化成12页，这个结果才得到了承认并获得好评。