K-理论：数学文化选粹中的稳定线性代数方法

另外一个技术就是所谓的“K－理论（K－Theory）”。它在很多方面都与同调论相似，其历史并不很长（直到20世纪中叶才出现，尽管其起源的某些方面也许可以追溯到更早一些），但它却有着很广泛的应用，已经渗透了数学的许多部分。K－理论实际上与表示理论紧密相连，有限群的表示理论起源于19世纪，但是其现代形式——K－理论却只有一个相对较短的历史。K－理论可以用下面的方式来理解：它可以被想象成是应用矩阵论的一种尝试。我们知道矩阵的乘法是不可交换的，于是我们想构造矩阵可换的或是线性的不变量。基、维数和行列式都是矩阵论中可换的不变量，而K－理论即是试图处理它们的一种系统的方法，有时也把它称为“稳定线性代数”。其思想就是，如果我们有很多矩阵，那么把两个不可换的矩阵A和矩阵B放在不同块的正交位置上，它们就可换了，因为在一个大的空间里，我们可以随意移动物体。于是在某些近似的情况下，这样做是很有好处的，足以让我们得到一些信息，这就是作为一个技术的K－理论的基石。这完全类似于同调论，两者都是从复杂的非线性情形获取线性的信息。

在代数几何中，K－理论是由Grothendieck首先引入的，并且取得了巨大的成功，这些与我们刚刚谈到的层理论密切相关，而且也和他在Riemann－Roch定理方面的工作有紧密联系。

在拓扑学方面，Hirzebruch和Atiyah照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范畴内。从某种意义上来说，如果Grothendieck的工作与希尔伯特在合系方面的工作有关，那么Hirzebruch和Atiyah的工作更接近于Riemann－Poincaré在同调方面的工作，用的是连续函数，而Grothendieck用的是多项式。K－理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用。

从另外一个角度来看，Milnor、Quillen和其他人发展了K－理论的代数方面，这在数论的研究中有着潜力巨大的应用，沿着这个方向的发展产生了许多有趣的问题。

在泛函分析方面，包括像Kasparov在内的许多人的工作将连续的K－理论推广到非交换的C＊－代数情形。一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数。但是在其他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时泛函分析也就自然而然地成为了这些问题的温床。(www.xing528.com)

因此，K－理论是另外一个将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单的公式来处理的领域，尽管在每一种情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分的非常困难的、技巧性很强的问题。K－理论不是一个统一的工具，它更像是一个统一的框架，在不同部分之间具有类比和相似性。

这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”了。

非常有趣的是，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的新思想）的工作发现许多很有趣的方法都与K－理论有关，并且K－理论看起来为那些所谓的“守恒量”提供了一个很自然的“家”。虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是现在看起来K－理论能提供更好的答案。