同调论：拓扑、代数、分析的应用工具

历史上同调论（Theory of Homology）是作为拓扑学的一个分支而发展起来的。它涉及以下情形：现有一个复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息，如计算它的洞或者类似事物的个数，得到某些与之联系的可加的线性不变量等。这是一种在非线性条件下关于线性不变量的构造。从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群。同调论作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在20世纪上半叶发现的。这是一种从几何中获益匪浅的代数。

同调概念也出现在其他一些方面。其另一个源头可以追溯到希尔伯特及其关于多项式的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式。正是希尔伯特那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”——具有公共零点的多项式的线性组合。他要寻找这些理想的生成元。生成元可能有很多，他审视它们之间的关系，于是就得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”。希尔伯特的这个理论是一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形。从本质上来讲，希尔伯特构造了一个线性关系的复杂体系，它能够把像多项式这样的非线性事物的某些信息纳入其中。(www.xing528.com)

这个代数理论实际上是与上述拓扑理论相平行的，而且现在它们已融合在一起构成了所谓的“同调代数”。在代数几何学中，20世纪50年代最伟大的成就之一就是层的上同调理论的发展及在解析几何学中的扩展，这是由Leray，Cartan，Serre和Grothendieck等人组成的法国学派所取得的。从中我们可以感受到一种既有Rie－mann－Poincaré的拓扑思想，又有希尔伯特的代数思想，再加上某些分析手段的融合，这表明同调论在代数的其他分支里有着广泛的应用。我们可以引入同调群的概念，它通常是与非线性事物相关的线性事物。我们可以将之应用于群论，例如，有限群以及李代数，它们都有相应的同调群。在数论方面，同调群通过Galois群产生了非常重要的应用。因此，在相当广泛的情形下同调论都是强有力的工具之一，它也是20世纪数学的一个典型特征。