非线性数学发展：从线性到非线性

数学发展的另一个特点是从线性到非线性的转变。古典数学的大部分或基本上的内容是线性的，即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性；真正的非线性现象的处理是非常困难的，只是在20世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究。

我们从几何开始谈起。欧氏几何、平面的几何、空间的几何、直线的几何，所有这一切都是线性的。而从非欧几何的各个不同阶段到黎曼的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的。在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象。

这里举两个例子——孤立子和混沌，这是微分方程理论中两个非常不同的方面，在20世纪已经成为极其重要和非常著名的研究课题了。它们代表不同的极端：孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为（disorganized behavior）。这两者的出现在不同领域都是非常有趣和重要的，但它们基本上都是属于非线性现象。我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到1 9世纪下半叶，但那只是很少的一部分。(www.xing528.com)

当然，在物理学中，麦克斯韦方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程。与之对应的是著名的Yang－Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力。这些方程之所以是非线性的，是因为Yang－Mills方程本质上是麦克斯韦方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项的。于是在这里我们看到了一个非线性与非交换性现象的有趣联系，这不仅很有趣，而且也很重要。