局部到整体：数学与物理的类似性

从局部到整体是指数学的各个领域研究范围从局部到整体在发生着改变。古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内使用局部坐标等来研究事物。在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质。由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了。正是Poincraé，他不仅为拓扑学发展做出先驱性的贡献，而且还预言拓扑学将成为20世纪数学的一个重要的组成部分。顺便提一下，给出一系列著名问题的希尔伯特并没有意识到这一点。拓扑学很难在他的那些问题中找到具体的体现。而对Poincaré而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容。

对于复分析（也被称为“函数论”），在19世纪是数学的中心，也是像威尔斯特拉斯（Weierstrass）这样伟大人物工作的中心。对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数；对于威尔斯特拉斯而言，一个函数就是一个幂级数。它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。函数是一些公式：它们是明确可以用显式写下来的。然而，接下来阿贝尔、黎曼和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多的是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布、定义域位置和取值范围等。这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性。局部展开只是看待它们的一种方式。

同样在微分方程中，最初解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！那是一些可以写下来的东西。随着事物的发展，解不必再是一个显函数，人们也不一定必须用好的公式来描述它们。解的奇异性是真正决定其整体性质的东西。与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的相似，只不过在细节上有些不同罢了。

在微分几何中，高斯和其他人的经典工作描述了小片的空间、小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程。只要人们想要了解曲面的整体图像以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范固的转变就是很自然的了。当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质。(www.xing528.com)

数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架。数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数、一次一个素数以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时。这种素数和点之间、局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想也深深地影响了数论。

当然这种情况也发生在物理学中。经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质。物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么、可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进。