非欧几何的诞生与重要贡献

克莱因曾说：“在19世纪所有复杂的技术创造中，最深刻的一个就是非欧几何，在技术上是最简单的。”这个创造引起数学的一些重要的新分支，但它的最重要的影响则是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解，以及对它和物质世界的关系的理解。在19世纪中叶，数学上破天荒地出现了一种新几何，打破了欧氏几何的一统天下。人们把这种新几何称为非欧几何或罗巴切夫斯基几何。非欧几何的诞生，源自对欧几里得的第5公设的讨论与研究。因此，这里我们将从回忆第5公设说起。

欧几里得《几何原本》列出了5条公理和5条公设（见本书P39～40），其中第5公设为：若直线段与另外两条直线段相交，且使一侧的内角之和小于两个直角，则该两条直线段无限延长后必相交。

表面上看起来这些公理与公设都是很自然的事情，而且这些公理与公设都是经常用到的，但是欧几里得的第5公设却在一开始就引起了广泛的争议，数学家们都在论证第5公设的正确性。很多数学家尤其是兰伯特对非欧几何的诞生有重要贡献。但是，他们都没有能正式提出一种新几何并建立系统的理论。德国著名数学家高斯（Gauss，1777—1855）、匈牙利数学家波儿约（J．Bolyai，1802—1860）和俄国数学家罗巴切夫斯基（N．E．Lobatchevsky，1792—1856）却这样做了。通常人们认为他们是非欧几何的创始人。

欧氏几何的平行公设可以简单地描述为：在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行。否定它，就会得到新的平行公设：

1）在平面内过已知直线外一点，有两条以上直线与已知直线平行；

2）平面上任何两条直线都相交。

欧几里得公设中的前4条与1）结合，得到双曲几何，这是高斯、罗巴切夫斯基和波尔约的功绩。欧几里得公设中的前4条与2）结合，得到椭圆几何，但要对欧几里得的第1公设和第2公设重作解释，这是黎曼的功绩。平行公设构成3种几何的分水岭。

高斯是最早指出欧几里得第5公设独立于其他公设的人。他曾经告诉他的朋友：早在1792年他就有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第5公设并不成立。从1813年开始，他进一步发展了他的新几何，最初称之为反欧几何，后来称之为非欧几何。遗憾的是，高斯在世时并没有发表过一篇关于非欧几何的文章，他的思想是通过与好友的通信、对别人著作的几份评论，以及他逝世后从稿纸中发现的几份札记表达出来的。

匈牙利数学家J·波尔约（又译鲍耶），对非欧几何的创立也做出了重大的贡献。从年代上讲，波尔约公开出版自己关于非欧几何的研究成果，要比首先发表这方面成果的罗巴切夫斯基晚3年，但这个研究成果却是他独立得到的。

历史上，最完整、最先出版非欧几何研究成果的是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（N． I．Lobatchevsky，1792—1856）。1826年，他完成了非欧几何的第一篇论文《几何原理简述和平行线定理的严格证明》。1829年他在喀山大学学报《喀山通讯》上发表了论文《论几何学原理》，这是数学史上最早的非欧几何论著。1835—1838年，罗巴切夫斯基完成并发表了一系列的非欧几何论文，完整的罗氏几何理论已经形成。1840年他以德文在国外发表了《平行线理论的几何研究》。高斯在看到德文版的罗氏论文后给予了高度的评价，并提议1841年罗巴切夫斯基作为“俄罗斯帝国杰出数学家”之一被吸收为哥廷根科学协会的通讯会员。罗氏几何的问世，标志着非欧几何的确立。

G．康托尔曾说过：“数学的本质就在于它的充分自由。1830年以前，数学家的处境可以比作是一位非常热爱纯艺术，而又不得不接受为杂志绘制封面的艺术家。从这种限制中解脱后，艺术家就可以无限制地发挥他的想象力和创造力，创造出众多的作品。非欧几何正是这种解脱的因素。”非欧几何的诞生结束了欧几里得几何的一统天下，使几何学从传统的束缚中解放了出来，从而产生了一些重要的新的几何分支。下面我们以黎曼几何为例来谈谈非欧几何诞生的意义。

1．黎曼几何

德国数学家黎曼（Rieman，1826—1866）在1854年讨论无界和无限概念时得到黎曼几何。

黎曼提出子集的非欧几何并不是完全从公理出发的。当时他在几何上深受高斯的影响，特别是深受高斯关于微分几何研究的影响。他认为从给出空间度量出发可以得到更为一般的几何。这里的所谓度量，粗略地说，就是计算长度的规则。他假定空间是弯曲的，而不是平直的，因而在每一点长度的计算公式也不同。黎曼原来考虑的是一般的n维空间。为了简便起见，我们这里只考虑二维的情况，即平面的情况。

假定在给定平面上取定了一个直角坐标系，这样平面上的点便可以用实数对（x，y）来表示。对于平面上任意给定的点P＝（x，y），并同时在该点附近给了另外一点P′＝（x＋dx，y＋dy），那么由欧氏几何就可计算出两点间的距离，可以得到P到P′的距离为ds＝即ds2＝dx2＋dy2，见图5－1。从公式可以看到P到P′的距离只取决于dx、dy，而与P点的位置无关。

图5－1 欧氏度量

在这一度量下，计算一条光滑曲线的长度的公式为

很容易证明，在欧氏度量下，两点之间的最短连线是直线段。

为了考察更一般的几何，黎曼考虑了一般的度量（通常称作黎曼度量）：

ds2＝E（x，y）dx2＋2F（x，y）dxdy＋G（x，y）dy2，

其中E、F、G是（x，y）的函数，且满足下列条件：

E＞0，EG－F2＞0

这两个条件使得上述度量表达式左端恒为正数，只要dx与dy不同时为零。在这个度量下 曲 线 Γ 的 长 仍 是但 其 中 弧 微 分 的 表 达 式 是 ds ＝这个比欧氏度量要复杂得多。一般来说，按照这个公式计算连接给定两点的最短线（称为测地线）不一定是直线段，而可能是一条弯曲的线。

熟悉微分几何的读者立刻可以看出，一个黎曼度量从局部来看就是某张曲面的第I基本形式，而（x，y）平面上的一条曲线在该度量下的长度实际上就等于这条曲线所对应的曲面上的曲线的长度，见图5－2。(www.xing528.com)

图5－2 黎曼度量的几何意义

因此，在平面上装配了一个黎曼度量之后就失去了平直性，而变成了一个弯曲的空间。人们行走在这样的平面上宛如行走在一个高低不平的曲面上，而测地线（最短线）可能是弯曲的。

我们知道，高斯证明了一张曲面的总曲率只依赖于其第I基本形式。因此，人们可以谈论一个黎曼度量的总曲率，有时也称为高斯曲率或简单地称为曲率。欧氏度量的曲率为0。

黎曼除了在研究一般度量的同时，还特别考察了一种具有正的常曲率的度量

其中α＞0，为常数。这个度量的曲率为α2。

黎曼认为平面装备了这样的度量之后，将其测地线视作“直线”就得到了欧氏几何。

欧几里得的公设2为：直线可以被无限延长。而黎曼假定所有的直线都是无界的，但其长度有限。我们来想象一个由球的表面所形成的二维世界，在这里，我们把“直线”定义为球的大圆。地球赤道无界，但是并非无限！在这个世界里，每两条“直线”相交，因此，过给定“直线”外一点不能做出与之平行（即不相交）的“直线”。因此，这个世界的几何，也称为椭圆几何。

黎曼区分了“无界”与“无限”的概念，故黎曼对欧几里得第1，2，5公设作了如下修正：

1）任意两点至少可以确定一条直线；

2）直线是无界的；

3）平面上的任何两条直线都相交。

黎曼几何里的有些定理与欧氏几何相同，但也有惊人的不同。例如，欧氏几何中我们会认为一条直线的所有垂线都是平行的，而在黎曼几何里，有这样一个定理：一条直线的所有垂线都交于一点（图5－3）。如何来探讨这个问题？其实，我们只需要一个球面就可以了。这个结论对于球面上的每个“三角形”都是正确的。

图5－3 直线的所有垂线都交于一点

黎曼几何的公理与定理都可以应用于球面：大圆无界但长度有限。其次，在球面上，没有平行线，因为任何两个大圆都相交。因此，我们在球面上考虑这个问题，这个定理完全正确。

而另一定理：一个三角形的内角之和大于180°，也是与我们传统的几何学中不一样。其实，对这个问题，我们依然在球面上看，三角形ABO的内角和必定大于180°。事实上，这个结论对于球面上的任意一个“三角形”都是正确的（图5－4）。

2．非欧几何诞生的意义

非欧几何诞生的影响是巨大的，其重要性与哥白尼的日心说、牛顿的万有引力和达尔文的进化论一样，对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响，在数学史上可以看成是从变量数学时期向现代数学时期的一个转折点，但其更重要的意义却是哲学上的。遗憾的是，这种影响在一般思想史中并没有受到应有的重视。它的重要影响是什么呢？

图5－4 球面上三角形的内角和

1）非欧几何的创立使人们开始认识到，数学空间与物理空间之间有着本质的区别。但最初人们认为这两者是相同的。这种区别对理解1880年以来的数学和科学的发展至关重要。

2）非欧几何的创立扫荡了整个真理王国。在古代社会，像宗教一样，数学在西方思想中居于神圣不可侵犯的地位。数学殿堂中汇集了所有真理，欧几里得是殿堂中最高的神父。但是通过波尔约、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工作，这种信仰彻底被摧毁了！欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终结。

3）真理性的丧失，解决了关于数学自身本质这一古老问题。数学是像高山、大海一样独立于人而存在，还是完全是人的创造物呢？答案是：数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。

4）非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理体系，只要这种研究有一定的意义。

非欧几何在思想史上具有无可比拟的重要性。它使逻辑思维发展到了顶峰，为数学提供了一个不受实用性左右、只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧摒弃感觉经验的范例。