线性代数学的发展及重要基本公式

由一次方程组求解问题发展起来的理论称为线性代数学，主要研究行列式、矩阵、向量空间、线性变换、型论、不变量论、张量代数等。行列式的概念是1683年由日本数学家关孝和（1642—1708）提出来的。1841年法国数学家雅可比（Jacobi）在《论行列式的形式与性质》中给出了较系统的理论论述。矩阵的概念是由凯雷于1855年引入的。

线性代数基本上出现于17世纪，是从17世纪下半叶大致与微积分同时发展起来的，它起源于线性方程组的求解，其主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中，字母的含义也被推广了，它不仅用来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说，线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上，更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。

1．行列式

行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是在17世纪由日本数学家关孝和提出来的，1683年在他的著作《解伏题之法》（解行列式问题的方法）中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹。1693年莱布尼兹在写给洛必达的一封信中使用并给出了行列式的定义，给出方程组的系数行列式为零的条件。1750年瑞士数学家克莱姆（Cramer）在他的著作《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式，也就是我们所熟悉的克莱姆法则。1764年，法国数学家贝祖（Bezout，1730—1783）把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，贝祖证明了系数行列式等于零是该方程组有非零解的条件。

在很长的一段时间里，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。

法国数学家范德蒙（Vandermonde）是第一个对行列式理论进行系统阐述（即把行列式理论与线性方程组求解相分离）的人，并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。法国数学家拉普拉斯（Laplace）在1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中，证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi）也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

法国数学家柯西大大发展了行列式的理论，他是在范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的数学家。柯西于1812年在法兰西学院宣读了一篇关于行列式的研究论文，并于1815年发表了题为《论在任意变量置换下只取大小相等、符号相反的两个值的函数》。在这篇论文中，柯西把行列式元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及其改进并证明了拉普拉斯（Laplace）的行列式的展开定理。而我们所熟悉的行列式现在的两条竖线记法是由英国数学家凯莱（Cayley，1821—1895）最先给出的。

德国数学家雅可比（J．Jacobi，1804—1851）将柯西等人的行列式理论做了推广，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。

2．矩阵

矩阵是代数学的一个主要研究对象，也是一个重要工具。矩阵作为线性方程组系数的排列形式可以追溯到古代，中国古典数学最重要的著作《九章算术》中方程术的遍乘直除算法，其实就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消元法”。

1848年英格兰数学家西尔维斯特（Sylvester）首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855年英国数学家凯莱（Cayley）建立了矩阵运算的规则，他是首先将矩阵作为独立研究对象的数学家。著名的凯莱－哈密尔顿（Cayley－Hamilton）理论断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由凯莱在1858年在他的矩阵理论论文集中提出的。此外，在这一论著中，凯莱定义了矩阵的相等、运算法则、转置以及逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。数学家柯西首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值。1878年德国数学家弗罗伯尼（Frobenius）发表了关于矩阵论的很有影响的论文，提出矩阵的最小多项式（即以矩阵为根的次数最低的多项式）是特征多项式的因式而且是唯一的。他又将不变因子和初等因子的概念引进到矩阵理论中来，得到矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的初等因子或不变因子的结论。他还发表了埃尔米特使用过的正交矩阵这个术语的正式定义，引进了矩阵的秩的概念。他的论述还涉及矩阵的相似变换、合同矩阵等。

值得注意的是我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。(www.xing528.com)

3．线性方程组

线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》中已作了比较完整的论述。其中求解方法相当于我们现在的高斯消元法，即对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有2、3、4个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。

19世纪，英国数学家史密斯（H．Smith）和道奇森（C－L．Dodgson）继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数n个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此，在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。

4．二次型

二次型是我们对线性代数基础知识的进一步的应用。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。

西尔维斯特在二次型的化简和创立标准型理论方面起了重要作用。在二次型化简的研究中西尔维斯特得到了两个二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的指数，相继得到的另一个重要结果就是著名的“惯性定律”，即秩为r的一个实二次型f（x1，x2，…，xn）可以通过非奇异的线性变换化成规范形y21＋…＋y2p－y2p＋1－…－y2r，其中指数p是唯一确定的，称为正惯性指数。当时西尔维斯特没有给出证明，这个定律后来被J·雅可比（Jacobi）重新发现并证明，对判定二次型是否正定具有重要的理论和实用价值。将二次型化为规范形来判定是方法之一，但是能否不用化简，只用二次型的系数进行判定呢？西尔维斯特对这个问题进行了研究，得到了著名的西尔维斯特定理：一个n元实二次型正定的充分必要条件是该二次型的n个顺序主子式全为正数。

1858年，维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。维尔斯特拉斯比较系统地完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。

线性代数的主要理论成熟于19世纪。由于代数运算是有限次的且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中产生许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。第二次世界大战后，随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是，作为处理离散问题的线性代数，就成为了从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。