《几何原本》内容解析

欧几里得在《几何原本》中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公设、5条公理、119个定义和465个命题，构成历史上第一个数学公理体系。各卷的内容大致可分类如下：

第一卷：几何基础。包括23个定义、48个命题。另外还提出了5条公设和5条公理（在以后各卷再没有加入新的公设和公理），该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理（毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形面积等于夹于直角两边上正方形面积之和，即勾股定理）。

第二卷：几何代数。几何形式研究代数公式，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。

第三卷：圆形。包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角等。

第四卷：正多边形。主要讨论给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。

第五卷：比例说。主要讨论欧多克斯的比例理论。

第六卷：相似图形。

第七、八、九卷：初等数论。探讨偶数、奇数、质数、完全数等的性质。给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多数论的重要定理。

第十卷：不可公度量。讨论无理量，即不可公度线段，共有命题115个。

第十一、十二、十三卷：立体几何。主要探讨立体几何中的定理，并证明了只存在5种正多面体。可以说，目前中学几何课本中的内容，绝大多数都能在《几何原本》中找到。

欧几里得在《几何原本》第一卷中列出了5个公设和5个公理。它们的区别是，公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何学，在非欧几何出现以前，公设和公理都被人们当作是不成问题的真理加以接受。下面列出欧几里得的公设与公理。

公设：(www.xing528.com)

1）连接任何两点可以作一直线段。

2）一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线。

3）以任意一点为中心，通过任意给定的另一点可以作一圆。

4）凡直角都相等。

5）如果同一平面内任意一条直线与另两条直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则这两直线经适当延长后在这一侧相交（其等价命题：在一个平面中，过已知直线外一点作直线的平行线能作一条且仅能作一条）。

公理：

1）等于同量的量，彼此相等。

2）等量加等量，其和仍相等。

3）等量减等量，其差仍相等。

4）彼此能重合的东西是相等的。

5）整体大于部分。