中国古代数学繁荣之盛

960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行了翻刻。这些都为数学的发展创造了良好的条件。

北宋时期出现了我国有史以来的第一批雕版印刷本数学书籍。在南北对峙的情况下，南方有著名数学家秦九韶、杨辉，北方有著名数学家李冶、朱世杰，合起来被称为“宋元四大家”。在四大家的著作中论述的数学问题无论在深度和广度上都超过前朝，其中还包含许多有世界意义的重要成就。

秦九韶的《数书九章》（18卷）中系统地讲解了高次方程（最高达10次）。11～14世纪约300年间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，在很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪的“增乘开平方法”和刘益的“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、刘益的“增乘方法求谦草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学产生了重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形提出早约600多年。

把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情况）解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽《九章算术注》处理无理数方法的发展。秦九韶算法是一种多项式简化算法，在西方被称为霍纳算法，它比西方早提出500多年。

元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法（他们称为招差术），朱世杰得到一个类似于四次函数的内插公式。

用天元（相当于X）作为未知数符号，列出高次方程，古代称为“天元术”，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造，对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右4个方向上，其他各项放在4个象限中。朱世杰的最大贡献是提出了四元消元法，其方法是先选择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这个未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这类似于现在线性方程组的解法，它比西方同类方法早了400多年。(www.xing528.com)

勾股形解法在宋元时期有了新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，弥补了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》中对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到了9个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。

已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算的。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法，沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确，但他们的整个推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。

中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这一时期的实用算术书目，其数量远比唐代多得多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，应该说它最后完成于元代。

从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，而后者则把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。王文素、程大位、徐心鲁等数学家增加了起一口诀，加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化。

宋元数学的繁荣，是社会经济与科学技术发展的必然结果，也是传统数学发展的结果。这一时期不仅是我国古代数学发展的鼎盛时期，同时也为世界数学史翻开了辉煌的一页。据我国数学史家杜石燃先生考证，当时我国创造的高次方程的解法较欧洲的霍纳方法早800多年，多元高次方程组的消元法比欧洲早近500年，联立一次同余式的解法早500多年，高次内插法早近400年，其他还有不少成就在当时也遥遥领先于世界水平。