结构力学(上)：位移法原理及成果

先以图8-12（a）所示连续梁（EI为常数）为例，来说明如何用典型方程法计算超静定结构的内力。

此连续梁只有一个独立结点角位移Z1，结构中各杆均无侧移产生，这种结构称为无侧移结构。在结点B加一附加刚臂，使得到基本结构。由于附加刚臂约束了结点B的角位移，故荷载作用在基本结构上时，其位移和内力将与原结构不相同。显然，若令附加刚臂发生于原结构相同的角位移Z1，则二者的位移就完全一致了（图8-12b）。基本结构在荷载和基本未知量即独立结点位移共同作用下的体系称为基本体系。

图8-12

从受力方面看，基本结构中由于加入了附加刚臂，刚臂上便会产生附加反力矩（简称反力矩）。但原结构中并没有附加刚臂，当然也就不存在该反力矩。现在基本结构的位移既然与原结构完全一致，其受力也应完全相同。因此，基本结构在结点位移Z和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩R1必定为零（图8-12b）。设由Z1和荷载所引起的刚臂上的反力矩分别为R11和R1P，根据叠加原理，上述条件可写为

R1=R11+R1P

式中，Rij的两个下标含义与前相似，即第一个下标表示该反力所属附加联系，第二个下标表示引起该反力的原因。设r11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚臂上的反力矩。则上式可写为

这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程。

要确定Z1，应先求出R11和R1P，因基本体系中各杆均可视为单跨超静定梁，故可利用表8-1中计算简图的杆端弯矩，分别绘出基本结构在Z1=1作用下的弯矩图（称为图）和荷载作用下的弯矩图（称为MP图），如图8-13所示。由M1图取结点B为隔离体，用力矩平衡条件ΣMB=0，可得

r11=3i+3i=6i(www.xing528.com)

式中，i=为杆件的线刚度。

同理，由图MP可得

R1P=96kN·m-120kN·m=-24MP

将上述结果代入位移法基本方程，可求出

图8-13

结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩图可由叠加法M=+MP绘制。

如BC杆B端的弯矩为=-108kN·m（负号表示该弯矩的方向为绕杆端逆时针转动，即上侧受拉）。M图如图8-14所示。

图8-14