结构力学上：位移法的未知量和基本结构

由8.2节分析可知，如果结构上每根杆件两端的角位移和线位移都已求得，则全部杆件的内力均可确定出。因此，在位移法中，基本未知量应是各结点的角位移和线位移。在计算时，应首先确定独立的结点角位移和线位移的数目。

确定独立的结点角位移数目比较容易。由于在同一结点处，各杆端的转角是相等的，因此每一个刚结点的角位移可作为未知量。在固定支座处，其转角等于零或是已知的支座位移值。至于铰接点或铰支座处各杆端的转角，由于它们是不独立的，确定杆件内力时可以不需要它们的数值，故可不作为基本未知量。这样，确定结构独立的结点角位移数目时，只要数刚结点的数目即可。如图8-9（a）所示刚架，其独立的结点角位移数目为2。

图8-9

确定独立的结点线位移的数目时，在一般情况下每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。但是通常对于受弯杆件略去其轴向变形，并设弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，这样每一根受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了独立的结点线位移数目。如在图8-9（a）所示刚架中，4，5，6三个固定端都是不动的点，三根柱子的长度又保持不变，因而结点1，2，3均无竖向位移。又由于两根横梁保持长度不变，因此三个结点均有相同的水平位移。因此，只有一个独立的结点线位移。

独立的结点位移数目还可以用以下方法来确定：由于每一个结点可能有两个线位移，而每一根受弯直杆提供一个两端距离不变的约束条件，这就与第二章几何组成分析中分析平面铰接体系的几何构造性质的法则相似（平面铰接体系的每一节点有两个自由度，而每根链杆为一个联系）。因此，确定独立的节点线位移数目时，可以假设把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰接，从而得到一个相应的铰接体系。若此铰接体系为几何不变，则可推知原结构所有结点均无线位移。若相应的铰接体系是几何可变或瞬变的，就看最少需要添加几根支座链杆才能保证其几何不变，则所需添加的最少支座链杆数目就是原结构独立的结点线位移数目。如图8-9（a）所示刚架，其相应的铰接体系如图8-9（b）所示，它是几何可变的，必须在某结点处增添一根非竖向的支座链杆（如虚线所示）才能成为几何不变的，故知原结构独立的结点线位移数目为1。

显然，在上述确定位移法的基本未知量，即独立的结点角位移和线位移时，由于考虑了支座和结点及杆件的连接情况，就满足了结构的几何条件，即支撑约束条件和变形连续条件。

用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都可以看成是一根单跨超静定梁，因此位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变成两端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。为此，可以在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动（但不能阻止结点的移动），同时加上附加支座链杆以阻止结点的线位移。如图8-9（a）所示刚架，在两刚结点1，3处分别加上刚臂，并在结点3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件就都成为两端固定或一端固定一端铰支的梁。原结构的基本结构如图8-9（c）所示，它是单跨超静定梁的组合体。

又如图8-10（a）所示刚架，其结点角位移数目为4（注意，其中结点2也是刚结点，即杆件62与32在该处刚接），结点线位移数目为2，一共有六个基本未知量。加上四个刚臂和两根支座链杆后，可得到基本结构如图8-10（b）所示。(www.xing528.com)

图8-10

需要注意的是，上述确定独立的结点线位移数目的方法，是以受弯直杆变形后两端距离不变的假设为依据的。对于需要考虑轴向变形的杆件或受弯的曲杆，则其两端距离不能看作不变。因此，如图8-11（a）（b）所示结构，其独立的结点线位移数目应是2，而不是1。

图8-11

随堂练习

位移法的基本未知量是（　　）。

A.杆件的变形　B.多余约束力

C.结点位移　D.支座位移