结构力学超静定结构位移计算

超静定结构的位移计算仍从虚功原理出发，用单位荷载法求解。导出的公式与第六章中的形式完全一样，但计算要比静定结构复杂。下面先以荷载作用下的计算作说明，然后推广到温度改变及支座移动作用下的计算。

图7-24（a）的单跨超静定梁，受匀布荷载作用，求梁中点的竖向位移ΔKP。

图7-24

该结构用力法求解得弯矩图如图7-24（b）所示。现把该梁两端的弯矩作为外力，同梁上的荷载q一起作用在图7-24（c）所示的简支梁上。图7-24（c）所示的简支梁在上述荷载作用下的内力和位移与原结构完全相同。求原超静定结构的位移，利用单位荷载法时，就可以把单位广义力FP=1作用在图7-24（c）所示的静定梁上，所得的弯矩图如图7-24（d）所示。将图7-24（b）与图7-24（d）用图乘法运算，即得到梁中点的位移。

这里的为平衡状态下，原结构的基本系（静定结构）在FP=1作用下的弯矩，MP为实际位移状态下的超静定结构的弯矩。

需要说明的是：基本系与原结构的区别在于把多余约束力从原来的内力转为外力，它是满足解除约束处的位移条件的。由于超静定结构的基本系有多种形式，所以可在原结构的任一基本系上建立平衡状态。请读者对上述例子用悬臂梁的基本系进行校核。

下面列出超静定结构位移计算公式。

平面结构的位移计算公式为

1.荷载作用(www.xing528.com)

式中表示FP=1作用下任一静定基本系的内力；MP，FQP，表示原超静定结构的内力。

2.温度作用

超静定结构在温度作用下，因为微段的变形位移是由超静定结构的内力Mt，与温度作用下基本系中杆件的自由伸缩共同引起的，所以

式中，表示FP=1作用下任一静定基本系的内力。

3.支座移动作用

超静定结构在支座移动下的内力为，所以

式中，表示FP=1作用下任一静定基本系的内力；MC，表示原超静定结构的内力。

这里还要指出，求超静定结构位移时，FP=1作用下的平衡状态，仍然可以在原超静定结构中建立，这时的各种公式与静定结构中求位移的公式相同。公式中的各项内力与支座反力均应是超静定的。