静定结构位移公式+荷载作用-结构力学

结构的位移如果是由荷载引起的，位移计算的一般公式（6-11）中没有支座移动项，即Ci=0，得

式中是虚设单位广义力作用下平衡状态的内力。若结构上只承受实际的外荷载，这时微段的变形由材料力学可知

将以上三式代入式（6-12），得

这就是荷载作用下位移的计算公式。

式中，ΔKP表示所求位移状态的某处所某方向位移；表示单位广义力=1作用下，结构平衡状态时任一截面K的内力；M，表示荷载作用下结构某截面K的内力；E，G，I，A表示杆件的弹性模量、剪切模量、惯性矩、面积；λ表示剪应力不均匀的修正系数，矩形截面为1.2，圆形截面为32/27，工字形截面可近似为λ=F/F'（F是截面总面积，F'是腹板面积）。

在梁和刚架中，轴力和剪力对位移的影响很小，可以略去，只需考虑弯矩项的影响，式（6-13）变为

在实体拱中，除考虑弯矩项外，还需考虑轴力项的影响。

在桁架结构中，只有轴力，且各杆轴力均为常量，则公式为

在混合结构中，既有梁、刚架的杆件，又有桁架的杆件，公式为

【例6-1】简支梁AB，受匀布荷载q时如图6-14（a）所示，求跨度中点C的挠度。E，I已知。

【解】

简支梁AB受匀布荷载时位移状态如图6-14（a）所示。

在所求位移的位置（C点）、位移的方向（铅直方向）加上单位广义力=1，建立平衡状态，如图6-14（b）所示。

图6-14(https://www.xing528.com)

两状态下x截面的内力方程（利用对称性，只考虑左半梁）为

简支梁AB为受弯杆件，位移公式中略去剪力项，由公式（6-13a），得

【例6-2】求图6-15（a）对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移。设E=2100kN/cm2，图中括号内的数值为杆的截面积A（cm2）。

图6-15

【解】

桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，应用位移公式（6-13b）。

图6-15（a）为荷载作用下的位移状态。求结点4的竖向位移，加单位集中力=1，得平衡状态，如图6-15（b）所示。

图示桁架杆件较多，为了避免遗漏和错误，列表计算，如表6-1所示。

各杆的长度l、面积A及各杆件的FNP见图6-15（a），见图FPK=1，分别记在相应栏内，然后按公式（6-13b）计算各杆的的值，再叠加。

表6-1　计算表

由此可得

从上面例题可看出，在建立平衡状态时加无因次的单位力，不影响最后结果的因次。例如，求线位移时加一无因次的单位集中力，则也是无因次的的因次为［长］，而的因次为的因次为如求角位移时加一无因次的力偶，则的因次为1/［长］。而的因次为，等于无因次的弧度；的因次为，等于无因次的弧度。