虚功原理：变形体系在彼此独立的一组力系和位移系作用下，其平衡和位移协调的必要与充分条件是体系的外力所作的总虚功等于体系的总虚变形功。
现用图6-8（a）直杆的变形体系加以说明。
体系上q（x）和p（x）分别为横向和轴向的分布荷载，杆件左端A为固定端、右端为自由端，并有三个外力
坐标如图6-8（a）所示。
图6-8
体系在以上荷载作用下处于平衡状态K，由于别的因素m（荷载或温度改变或支座移动）使体系产生了满足变形协调条件和边界条件的虚位移，如K截面的水平向位移u（x）、横向位移v（x）和转角θ（x），如图6-8（b）所示。因为体系是满足变形协调条件的，所以这些位移都是连续可导的函数。位移u以向右为正，v以向下为正，θ以逆时针转为正。这一组位移系与所受的力系彼此独立，没有因果关系。
现取K截面处长度为dx的微段进行考察，微段上的外力及微段的变形位移如图6-9所示。
图6-9
微段的平衡条件：由图6-9（a）得
且位移u，v，θ是变形连续可导的。
边界条件：A端的位移边界条件满足u（A）=v（A）=θ（A）=0；B端力的边界条件满足
微段外力q（x），p（x）和M，FQ，FN在变形位移u，v，θ上的虚功为
将上式右边展开，略去二阶微量，整理后得
再考察右端B边界处的微段外力及变形位移，如图6-10所示。该段外力的虚功表达式为
整理后得
图6-10
比较式（6-5）和式（6-6），除最后三项外，其他各项相同。式（6-6）最后三项是考虑了B端的边界条件后增加的，因此，对此（6-6）沿杆长积分，便是全部外力的总虚功。(www.xing528.com)
式中，W代表每一杆件上外力在虚位移中作的总外力虚功；右边前三项代表杆件上各微段外力在相应的变形位移上作的总虚变形功，用U表示，写为
式（6-8）是体系满足平衡条件、位移协调条件及边界条件下导出的。考虑到平衡条件与边界条件，应有
和
于是，式（6-8）成为
若考虑体系的所有杆件，即
式（6-10）即为虚功原理表达式，亦称为虚功方程。其中，左边项W，即作用在变形体上所有外力在虚位移上作的总虚功，称为外力虚功；右边项，即变形体的微段外力在变形位移上作的总虚功，称为虚变形功。
再考虑式（6-10）成立的充分条件。体系在任意虚位移中式（6-10）成立时必须满足平衡条件和位移协调条件。由于虚位移um，vm，θm的任意性，下列各式成立：
它们就是平衡条件和边界条件。以上证明了虚功方程。
虚功概念中提到了力系和位移系两组物理量，现再根据虚功方程提出下列两点：
（1）如果实际存在的一组力系FP满足平衡条件，虚设的位移（虚位移）系满足位移协调条件和边界条件（设为单位值），这样就可通过虚功方程去求力系中的未知力。这时的虚功原理可称为虚位移原理。它的实质就是求解平衡问题。
（2）如果一组位移系是实际存在的，它满足位移协调条件和边界条件，可虚设满足平衡条件的一组广义力FP（设定为单位值），这样可通过虚功方程求实际的位移。这时的虚功原理称为虚力原理，它的实质就是求解几何变形问题。不论虚设的是位移还是力，它们都必须满足广义位移与广义力的对应关系。
随堂练习
1.虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）
2.变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ）
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