叠加法制作结构力学（上）的弯矩图

1.叠加原理

叠加原理是结构分析中常用的原理之一。其表述为：结构中由一组荷载共同作用产生的效应（反力、内力、变形、位移等）等于该组每一个荷载单独作用于结构所产生的相应效应的代数和。这里的荷载是广义的。叠加原理适用于小变形线弹性结构。

2.简支梁弯矩图的叠加法

利用叠加原理作结构弯矩图的方法称为叠加法，这种方法适用于梁、刚架等直杆结构。叠加法作弯矩图以简支梁为基础，可以推广到直杆的任意区段。例如，用叠加法作简支梁（图3-9a）在均布荷载q，A截面外力矩MA和B截面外力矩MB共同作用下的弯矩图。

由叠加原理知：图（a）的内力=图（b）的内力+图（c）的内力+图（d）的内力。实际作图时，不必作出分解图（b）（c）（d）而直接作出图3-9（a）。其方法是先绘出MA和MB作用下的弯矩图（图中的虚线），然后以此直线为基线叠加相应简支梁在荷载q作用下的弯矩图（图3-9b）。

图3-9

其跨中截面C的弯矩为两个弯矩图跨中弯矩竖标的叠加：

这样，最后的图线与杆轴线之间所包含的图形即为叠加后所得的弯矩图。

3.分段叠加法作弯矩图

如果已知直杆上某一区段两端（称为特征截面）的弯矩和段内荷载，采用上述叠加法作弯矩图也是适用的。即先将区段两端的弯矩用虚线相连，然后以此虚线为基线叠加上与区段长度相同的简支梁（称为“相应简支梁”）在段内荷载作用下的弯矩图，就可以得到该区段的最终弯矩图，这种方法称为分段叠加法。其一般步骤如下：

（1）根据杆上荷载的情况将杆分为若干段，区段端部的特征截面一般选在支座处、自由端、杆件交汇处、分布荷载起止点等位置。

（2）分析隔离体，根据平衡条件求各特征截面的弯矩，得到各区段的杆端弯矩值。

（3）在杆轴线上将各特征截面的弯矩标在受拉一侧，然后分段连线：①对无荷载作用的区段，直接连实线；②对有垂直杆轴方向荷载作用的区段，先用虚线连接区段端弯矩，然后叠加相应简支梁在相同段内荷载作用下的弯矩图，得到该段最后的弯矩图。

4.几个需要注意的问题

（1）弯矩图的叠加是弯矩纵标的相加，而不是图形的简单拼合，故在基线上叠加的弯矩图的纵标必须垂直于杆件的轴线，而不是基线。

（2）熟练使用分段叠加法，牢记简支梁跨内一般荷载作用下的弯矩图。

（3）少求特征截面的弯矩值，尽量用分段叠加法绘制结构的弯矩图。

（4）少求一些支座反力，摸索快速作弯矩图的技巧。

（5）对于任意直杆段，均可使用分段叠加法。分段叠加法作弯矩图是本节的重点，也是后续相关计算方法的基础，必须熟练掌握并灵活应用。

【例3-2】简支梁如图3-10（a）所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。

图3-10

【解】

（1）求约束反力。由平衡方程ΣMB=0和ΣMA=0得

FAy=15kN，FBy=15kN

（2）画FQ图。各控制点处的FS值如下

FQA+=FQC-=15kN

FQC+=FQD=15-10=5（kN）

FQD=5kN

FQB-=-15kN

画出FQ图如图3-10（b）所示，从图中容易确定FQ=0的截面位置。

（3）画M图。各控制点处的弯矩值如下

MA=0(www.xing528.com)

MC=15×2=30（kN·m）

MD-=15×4-10×2=40（kN·m）

MD+=15×4-5×4×2=20（kN·m）

MB=0

在FS=0截面弯矩有极值：

画出弯矩图如图3-10（c）所示。

【例3-3】一外伸梁如图3-11（a）所示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ图，M图。

图3-11

【解】

（1）求约束力。由平衡方程ΣMB=0和ΣMA=0得

FAy=5kN，FBy=13kN

（2）画内力图。根据梁上荷载情况，将梁分为，AC，CB，BD三段。

①剪力图。ABC段：段内有一集中力偶，集中力偶剪无变化，因此FQ图为一水平直线，只需确定此段内任一截面上的FQ值即可。

FQA+=FQC=FQB-=-5kN

BD段：段内有向下的均布荷载，图为右下斜直线。

FQB+=4×2=8（kN），FQD=0

根据前述分析和计算结果，作梁的剪力图如图3-11（b）所示。

②弯矩图。AC段：段内无荷载作用，FQ＜0，故M图为一右上斜直线。

MA=0，MC-=-5×2=-10（kN·m）

CB段：段内无荷载作用且FQ＜0，故M图为一右上斜直线，在C处弯矩有突变。

MC+=-5×2+12=2（kN·m）

MB=-4×2×1=-8（kN·m）

BD段：段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线，确定此段三个截面处弯矩值可确定抛物线的大致形状。

MB=-8（kN·m），MC+=-4×1×0.5=2（kN·m），MD=0

以上两例用简化方法说明作内力图的过程。熟练掌握后，可以方便地直接作图。

随堂练习

1.在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（　　）

2.区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（　　）

3.作图3-12所示单跨静定梁的M图和FQ图。

图3-12