冰箱质量-考虑平均寿命与离散程度

随机变量的概率分布是关于随机变量完整的描述，但在实际问题中，许多随机变量的概率分布往往难以确定．实践告诉我们，很多实际问题并不需要求得随机变量的分布，只需找出它的某些数字特征就可以了．如比较两个冰箱厂生产的冰箱质量，一方面可以比较它们的平均寿命，平均寿命越长质量越好；另一方面，还可考察两厂产品寿命对于平均寿命的离散程度，离散程度大的质量不稳定，离散程度小的质量比较稳定．投资决策时，投资者不但关心投资的期望收益，还关心投资的实际效果与期望收益之间的偏离程度（投资风险）．

表示随机变量某些概率特征的数字称为随机变量的数字特征．最常用的随机变量的数字特征是数学期望和方差．

一、随机变量的数学期望

先看下面这个例子．

例1 一台自动机床生产某种标准件，每天生产出的次品件数X是一个随机变量，下表列出了100天中出现次品件数的情况．

求该机床平均每天生产出多少件次品？

解 100天中出现次品总数为

0×30+1×30+2×20+3×20=130，

100天中平均每天出次品件数为

由此可见，次品件数的平均值是由次品件数X的每一个可能值乘上它对应的频率，然后相加而得到．如果再选100天做试验，次品件数的平均值就不一定是1.3．所以不能用1.3作为这台机床每天生产出次品件数的平均值．而频率总是稳定在概率附近，因此用概率来代替频率，所算得的平均值就能比较精确地表示这台机床每天出次品件数的平均值．这就启发我们用随机变量的可取值与相应概率乘积的和来描述．

1．离散型随机变量的数学期望

定义1 设离散型随机变量X的概率分布为

P(X=xi )=pi (i=1，2，…，n，…) ．

称

为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值．记为E(X)，即

例2 甲、乙二人每天的产量相同，他们的产品中出现次品个数X，Y的概率分布如下表．问谁的技术较好？

解 只从分布列来看，很难做出判断，但是

E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，

E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9．

由于甲每天生产的废品件数的平均值比乙多，而且两人每天的产量相同，所以，乙的技术好．

2．连续型随机变量的数学期望

否则，称连续型随机变量X的数学期望不存在．

例3 某长途汽车站每隔10min有一辆汽车经过，乘客在任一时刻到达汽车站是等可能的，则“乘客等候汽车的时间X”是一个随机变量，它在0～10之间取值：0≤X≤10，求乘客等车的平均时间．

解 设乘客等车时间为X，显然X～U(0,10)，X的密度函数为

乘客等车的平均时间就是X的数学期望

即乘客等车的平均时间是5分钟．

3．数学期望的性质

（1）E(C)=C(C为常数).

（2）E(CX)=CE(X)(C为常数).

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y).

（4）E(X-Y)=E(X)-E(Y).

（5）若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)．

二、随机变量的方差

1．方差的定义

随机变量的期望提供了对两个不同随机变量平均状态进行比较的标准．当两个随机变量的期望相同时，能否就说这两个随机变量一样“好”呢？我们看下面的例子．

甲、乙两名射手进行射击比赛，击中靶心得2分，击中靶环得1分，脱靶得0分．设在一次射击中，甲、乙两人射击的得分分别为随机变量X，Y，已知它们的分布列为

试评定他们射击成绩的好坏.

先计算他们所得分数的均值：

E(X)=1×0.1+2×0.7=1.5，

E(Y)=1×0.3+2×0.6=1.5．

虽然甲、乙射击成绩的平均值一样，但由X，Y的分布列可以看出，X有80%集中在均值1.5附近，Y有90%集中在均值1.5附近.这说明乙射手射击水平较甲射手稳定．

定义3 设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2存在，则称它为X的方差，记为D(X)，即

从方差的定义可以得到以下结论.

（1）X的取值集中，则方差小；

（2）X的取值分散，则方差大；

（3）D(X)=0，则随机变量X只取一个值；

（4）D(X)＜0不可能．

2．方差的计算

离散型随机变量X的概率分布为P(X=xi )=pi (i=1，2，…，n，…) ，则X的方差为

连续型随机变量X的密度函数为f(x)，则X的方差为

利用上式计算方差有时不方便，为此引入简化计算公式

事实上， D(X)=E[X-E(X)]2

=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}

=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]2

=E(X2)-[E(X )]2．

3．方差的性质

（1）D(C)=0 (C为常数) ．

（2）D(CX)=C2D(X) (C为常数 ) ．

（3）若X与Y相互独立，则D(X+Y)= D(X)+D(Y)．

（4）若X与Y相互独立，则D(X-Y)= D(X)+D(Y)．(www.xing528.com)

例5 连续型随机变量X的密度函数为

求X的数学期望与方差．

解 由数学期望的定义，得

而方差为

三、常见随机变量的数学期望和方差

1．两点分布(0-1分布)

P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q，

E(X)=p，D(X)=pq．

2．二项分布

X～B(n,p)，

E(X)= np，D(X)= np(1-p)．

3．均匀分布

4．正态分布

X～N(μ,σ2)，

E(X)=μ，D(X)=σ2．

标准正态分布 X～N(0,1)，

E(X)=0，D(X)=1．

习题7.5

1．甲、乙两位打字员，每页出错个数分别用X，Y表示，分布列如下表所示，问哪位打字员打印的质量较好?

2．某养鱼专业户经营了一个鱼塘，每次下网捕得鱼的重量是一个随机变量．根据以往经验,每下网100次，平均有10次捕得5斤鱼，30次捕得8斤鱼，35次捕得9斤鱼，25次捕得10斤鱼．问：

（1）可以期望每网捕鱼多少?

（2）有个顾客需要300斤鱼，约需下网多少次?

3．盒中有5个球，其中2个是红球，随机地取3个，用X表示取到红球的个数，求：（1）E(X)；（2）D(X)．

4．已知X～U (2,12)，求：（1）E(X)；（2）D(X)．

5．设随机变量X的密度函数为

求：（1）E(X)；（2）D(X)．

综合练习七

一、判断题

1．对于每一个随机事件A，都有0≤P(A)≤1． （ ）

2．对于任意两个事件A与B，都有P(AB)=P(A)P(B)成立． （ ）

3．X～N(0,1)，则E(X)=0，D(X)=1． （ ）

4．若X～N(1,2)，Y～N(2,1)，则D(X-Y)=D(X)-D(Y)=1． （ ）

5．甲、乙两名射手，在同样条件下射击同一个目标，击中目标的概率分别为0.9和0.8，则目标被击中的概率为0.9+0.8=1.7． （ ）

二、选择题

5．F(x)是离散型随机变量X的分布函数，则F(x)一定是（ ）．

A．奇函数 B．偶函数

C．有界函数 D．周期函数

6．连续型随机变量X的概率密度f(x)一定（ ）．

A．是可积函数 B．0≤f(x)≤1

C．是连续函数 D．是可导函数

三、填空题

1．一批产品有正品和次品，从中抽取三件，设A={抽出的第一件是正品}，B={抽出的第二件是正品}，C={抽出的第三件是正品}，试用A，B，C的并、交、逆表示下列事件：

四、解答题

1．某班学生共有40人，其中订数学杂志的有25人，订英语杂志的有20人，两种都订的有15人，求该班中订这两种杂志的概率．

2．某计算机中心一周曾遭受某种病毒攻击12台次，观察到所有这12次攻击均发生在周二或周五，是否可以推断该病毒的发作是有特定时间的？

3．从0，1，2，…，9十个数字中任取一个(假设每个数字被选取的可能性相同)，取后还原，先后取3个数字，求：

（1）3个数字全不相同的概率；

（2）3个数字不含0和1的概率．

5．甲给乙打电话，乙单位有两部电话，打通号码A的概率是0.7，打通号码B的概率是0.4，至少有一个打不通的概率是0.65，求至少有一个打通的概率．

6．一个班有34名学生，请计算以下概率：

（1）求全班学生的生日都不相同的概率；

（2）至少有两人同一天过生日的概率．

7．设随机变量X的分布函数为

8．某射手在一次射击时命中的概率为0.8，如果X表示该射手在100次独立射击中的命中次数，求E(X)，D(X)．