一、概率的加法
对于任意两个随机事件A和B有
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)．
若事件A与事件B互不相容，即AB=∅，则
P(A+B)=P(A)+P(B)．
此公式称为互逆事件概率公式．
例1 不透明的袋中装有4个白球和3个黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率．
解 设事件A={抽取1个黑球和2个白球}，B={抽取3个白球}，
C={抽取3个球中至少有两个是白球}，则C=A+B．
因为AB=∅．所以
例2 某班共有学生40人，其中爱好数学者25人，爱好英语者15人，既爱好数学又爱好英语者10人．求爱好数学或爱好英语的概率．
解 设A={爱好数学}，B={爱好英语}，C={爱好数学或爱好英语}，则
二、概率的乘法
1．条件概率
在实际问题中，往往会遇到求在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率．由于增加了新的条件“事件B已发生”，所以称为条件概率，记为P(A|B）．相应地，把P(A)称为无条件概率．
例3 从1到100的100个自然数中任取一个，发现它是2的倍数，那么它也是6的倍数的概率是多少？
解 设B={2的倍数}，A={6的倍数}，则
例4 同时掷两枚硬币，发现有一枚正面朝上，则另一枚也正面朝上的概率是多少？
解 掷两枚硬币的所有可能结果为
Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，B={一枚正面朝上}，A={另一枚也正面朝上}，则B={（正，正），（正，反），（反，正）}，A={（正，正）}，
从以上事例可抽象出条件概率的定义．
由条件概率的定义直接得到概率的乘法公式．对于任意两事件A和B有
即两事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率与在该事件发生的条件下另一个事件发生的概率的乘积．
例5 根据人口普查的数据得到结论：能活到70岁的概率为0.7，能活到100岁的概率为0.02．老张今年70岁，问他能活到100岁的概率是多少？
解 设A={活到100岁}，B={活到70岁}，P(A)= 0.02，P(B)= 0.7
因为活到100岁的人必活到70岁，所以AB=A，P(AB)=P(A)= 0.02
所以
例6 小李有5把钥匙，其中仅有一把能打开房门，她任取一把试开，若打不开房门，在余下的钥匙中再任取一把试开，直到打开房门．求
（1）第二次才打开房门的概率；
（2）三次内打开房门的概率．
解 设A={第1次打开房门}，B={第2次打开房门}，C={第3次打开房门}．
（1）第二次才打开房门就是第1次打开房门失败的前提下第2次打开房门，即AB．则
（2）三次内打开房门就是第1次打开房门成功，或者在第1次打开房门失败的前提下第2次打开房门成功，或者第1、2次打开房门都失败的前提下第3次打开房门成功．即
2．事件的独立性
定义2 A和B是同一随机试验下的两个事件，其中任何一个是否发生都不影响另一个发生的可能性，则称两个事件A和B相互独立．即P(A|B)=P(A)．
两个事件相互独立的概念，可以推广到n个事件的情形：A1，A2，A3，…，An中任何一个事件发生的可能性都不受其他事件发生与否的影响，则称事件A1，A2，A3，…，An相互独立．
关于事件独立有以下性质.
（1）A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)；
（3）若A1，A2，A3，…，An相互独立，则有
例7 甲、乙两人都考公务员，甲考上的概率是0.3，乙考上的概率是0.2，问：
（1）甲、乙两人同时考上的概率是多少?
（2）甲、乙两人至少一人考上的概率是多少?(www.xing528.com)
（3）甲、乙两人恰有一人考上的概率是多少?
解 设A= {甲考上公务员}，B= {乙考上公务员}，则P(A)=0.3，P(B)=0.2，
C={甲、乙两人同时考上}，D={甲、乙两人至少一人考上}，
E={甲、乙两人恰有一人考上}，则
例8 （摸球模型）盒中装有4只白球和2只红球，从盒中任意取一球，连取两次．考虑以下两种情况：①第一次取一球观察颜色后放回盒中，第二次再取一球，这种情况称为放回抽样；②第一次取一球不放回盒中，第二次再取一球，这种情况称为不放回抽样．
试分别就上面两种情况求：
（1）取到两只球都是白球的概率；
（2）取到两只球颜色相同的概率；
（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率．
放回抽样的情形．
由于是放回抽样，所以第一次取球与第二次取球的事件互相独立．
不放回抽样的情形．
由于是不放回抽样，所以第一次取球与第二次取球的事件不是独立的．
三、全概率公式
若事件A1，A2，A3，…，An构成一个完备事件组，且P(Ai )＞0(i=1,2,…,n)，则任意事件B的概率为：
解 设事件B={取到一件正品}，事件C={取到甲工厂产品}，事件D={取到乙工厂产品}，事件E={取到丙工厂产品}．三家工厂的产品是两两互斥的，而B是C+D+E的子事件，应用全概率公式，得
四、贝努利概型
定义3 在一定条件下重复做n次试验，如果每一试验的结果都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这n次试验叫作n次独立试验.例如，对一批产品进行抽样检验，每次抽一件，有放回地抽取n次，就是一个n次独立试验．
定义4 如果构成n次独立试验的每一次试验只有两个可能的结果：事件A发生或A不发生，并且在每次试验中事件A发生的概率均不变，那么这样的n次独立试验就称为n重贝努利试验（简称贝努利概型）
例如，从一批含有次品的零件中有放回地抽取n次，每次抽取一件检验是次品还是正品；在相同条件下射手进行n次射击，每次射击只考察击中还是不击中，等等，都是n重贝努利试验．
推论 在一次贝努利试验中，事件A发生的概率为p（0＜p＜1），则在n重贝努利试验序列中，事件A恰在第k次发生的概率为p(1-p)k -1．
习题7.2
1．某种产品共40件，其中有3件次品，现从中任取2件，求其中至少有l件次品的概率．
2．袋中装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球．摸出红球的概率是0.54，摸出白球的概率是0.28，问摸出黑球的概率是多少?
3．甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率是40%，乙获胜的概率是50%，那么甲不输棋的概率是多少?
4．某射手射击一次，击中10环的概率为0.24，击中9环的概率为0.28，击中8环的概率为0.31，求：
（1）这位射手一次射击至多击中8环的概率；
（2）这位射手一次射击至少击中8环的概率．
5．已知某产品的次品率为4%，正品中75%为一级品，求任选一件产品是一级品的概率．
6．某种电子元件能使用3000h的概率是0.75，能使用5000h的概率是0.5．某一元件已使用了3000h，问能用到5000h的概率是多少?
7．有一批产品，其中甲车间生产的产品占60%，乙车间生产的产品占40%，甲车间的合格品率是95%，乙车间的合格品率是90%，求从这批产品中随机抽取一件为合格品的概率．
8．在数学选择题的4个答案中恰有1个是正确的，某同学在答卷时5道选择题均随意地选择了一个答案，试计算5小题全部答对的概率．
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