简明高等数学：随机事件与概率

一、随机事件

1．随机现象与随机事件

在自然界和人类社会中，有些现象在一定条件下必然会发生或必定不会发生．例如，在一个标准大气压下，水加热到100℃必然会沸腾；在室温下，生铁必定不会熔化．这类在一定条件下必然会发生或必定不会发生的现象称为确定性现象．然而，有些现象在一定条件下可能会发生也可能不会发生．例如，掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面朝上，也可能不出现正面朝上；从一批产品中随意抽检一件，这件产品可能是合格品，也可能是不合格品．这类在一定条件下有多种可能结果，且事先无法预知哪种结果会出现的现象称为随机现象．

人们经过长期实践，深入研究之后，发现随机现象虽然就每次试验的结果而言，具有不确定性，但是，对随机现象进行大量重复试验，其结果却呈现出某种规律性．例如，多次重复投掷一枚质地均匀的硬币，得到正面朝上的次数大致占总投掷数的一半．把这种在大量重复试验下，其结果所呈现的固有规律性，称为统计规律性．概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支．

研究随机现象的统计规律性，必须在相同的条件下进行大量重复试验（或观察），如果试验满足以下三个条件：

（1）可以在相同的条件下重复进行；

（2）每次试验的可能结果不止一个，并且试验前可以预知所有的可能结果；

（3）试验前不能确定哪一个结果会出现．

那么，我们称该试验为随机试验，简称试验，本章中提到的试验都是随机试验．

在随机试验中，出现的每一可能结果，称为随机事件（简称为事件），通常用大写字母A、B、C等表示．例如，在掷一枚质地均匀的硬币试验中，A=“正面朝上”就是一随机事件．不能分解为其他事件组合的最简单的随机事件称为基本事件．一般地，由两个及两个以上的基本事件组合而成的事件称为复合事件．

例1 掷一颗骰子的试验，有6种可能的结果，即“出现1点”，“出现2点”，……，“出现6点”，每一种结果就是一个基本事件，记作

Ai=“出现i点”(i=1,2,…,b)．

而事件B=“出现偶数点”就是一个复合事件，它是由基本事件A2、A4及A6复合而成的．

在每次试验中一定发生的事件，称为必然事件，一定不发生的事件，称为不可能事件．例如，在掷一颗骰子的试验中，“出现点数小于7”这个事件一定发生，它是必然事件，“出现点数大于6”这个事件一定不会发生，是不可能事件．必然事件和不可能事件虽然不是随机事件，但是为了讨论问题方便，把它们看作特殊的随机事件．

随机试验中每一种可能的结果为一个样本点（基本事件），样本点的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间，记作Ω．如例1中的样本空间Ω={A1,A2,A3,A4,A5,A6}．

引入样本空间后，就可以从集合论的角度来描述随机事件及它们之间的关系和运算．随机试验中任意一个事件就是样本空间的子集．基本事件是由一个样本点组成的单元集．Ω和∅分别称为必然事件和不可能事件．

例2 “赌金分配问题”．在一场赌博中，双方约定掷硬币赌输赢，先胜3局者得到全部赌金，但当甲方胜了2局，乙方胜了1局时，赌博无法继续进行．此时，赌金应该如何分配?

解 法国数学家费马认为：如果赌局继续进行，无论如何，赌博最多只要进行2轮就可决出胜负．甲、乙双方胜负是个随机事件，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜，那么最后2轮的结果，只有以下4种情形：

甲甲 甲乙 乙甲 乙乙

上面4种情形出现的可能性都相同，只要甲出现一次或两次，甲方就获胜，因此甲方获胜的情况共有3种；而乙只有出现两次，乙方才能获胜，因此，乙方获胜的情况只有1种．所以，赌金应当按照3:1的比例分给甲乙．

2．事件的关系和运算

研究随机现象必然涉及多个随机事件，为了掌握事件发生的规律，讨论事件之间的关系是非常必要的．考虑到事件的集合内涵，可以用集合论的方法讨论事件之间的关系．

（1）包含关系．如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，或称事件B包含事件A，记作A⊆B或B⊇A．例如，A={2}，B={2,4,6}，则A⊆B．

（2）相等关系．如果事件B包含事件A，同时事件A也包含事件B，即A⊆B和A⊇B同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A=B．

（3）事件的和（并）．事件A和事件B至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和（并）．它是由事件A和B的所有样本点构成的集合．记作A+B或A∪B．例如，A={2,3}，B={2,4,6}，则A+B={2,3,4,6}．

类似地，称n个事件A1,A2,…,An 至少有一个发生的事件为这n个事件的和，记为

（4）事件的积（交）．事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（交），记作AB或A∩B．例如，A={2,3}，B={2,4,6}则AB={2}．

类似地，称n个事件A1,A2,…,An同时发生的事件为这n个事件的积，记为

（5）事件的差．事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差．它是由属于A但不属于B的那些样本点所组成的集合，记作A-B．例如，A={2,3}，B={2,4,6}则A-B={3}．

（6）互不相容（互斥）事件． 如果事件A与事件B不能同时发生，即AB=∅，则称事件A与事件B为互不相容（或称互斥）事件．互不相容事件A与B没有公共样本点，显然，基本事件间是互不相容的．如果A={2,3}，B={4,6}，AB=∅，则事件A与事件B为互不相容事件．

（7）对立事件．如果事件A和事件B不能同时发生，但其中必有一个发生，即满足AB=∅且A+B=Ω．则称事件A和事件B互为对立事件．例如，A={1,3,5}，B={2,4,6}，Ω={1,2,3,4,5,6}，A和B互为对立事件．

（8）完备事件组．若事件A1,A2,…,An 两两互斥，且A1+A2+…+An =Ω，则称事件组A1,A2,…,An 为完备事件组．

解： Ω= {1，2，3，4，5，6}，

A={1，3，5}，

B= {1，2}，

C={2，4，6}，

A+B={1，2，3，5}，

A-B={3，5}，

AB={1}，

AC={∅}，

C-B={4，6}．

例4 从一批产品中每次取出一个产品进行检验，做不放回抽样，事件A={第1次取到合格品}，B={第2次取到合格品}，C={第3次取到合格品}．试用A、B、C表示下列事件.

（1）三次都取到合格品；

（2）三次中至少有一次取到合格品；

（3）三次中恰有两次取到合格品．

解 （1）事件“三次都取到合格品”意味着事件A、B、C同时发生，所以这一事件可表示为ABC;

（2）事件“三次中至少有一次取到合格品”就是事件A、B、C至少有一个发生，所以这一事件可表示为A+B+C，也可以表示成A∪B∪C．

（3）事件“三次中恰有两次取到合格品”意味着两次取到合格品，而另一次取到不合格品，所以这一事件可表示为

二、随机事件的概率

为了研究随机现象的统计规律性，人们常常希望知道一个随机试验的某些结果出现的可能性有多大．例如，购买某品牌的电视机，人们很想知道它是次品的可能性有多大．欲在某河流上建筑一座防洪水坝，为了确定水坝的高度，人们很想知道该河流在水坝地段每年最大洪水达到某高度的可能性的大小．显然，电视机是次品是一个随机事件，最大洪水达到某一高度也是随机事件，必须对事件发生的可能性大小进行定量描述，这个刻画随机事件发生可能性大小的数值称为概率，事件A的概率记为P(A)．

1．概率的统计定义

在给出事件概率的定义之前，先了解一下频率的概念．

显然，任何随机事件的频率都是介于0与1之间的数．

大量随机试验的结果表明，多次重复地进行同一试验，随机事件的频率变化会呈现出一定的规律性：当试验次数n很大时，随机事件发生的频率具有一定的稳定性，其数值将会在某个确定的数值附近摆动，并且试验次数越多，事件发生的频率越接近这个数值．我们称这个数值为事件A发生的概率．

定义1 在一个随机试验中，如果随着试验次数的增多，事件A出现的频率在某个常数p附近摆动，则称p为事件A发生的概率，记作P(A)=p．概率的这种定义，称为概率的统计定义．

表7-1给出了“投掷硬币”试验的几个著名的记录，从表中看出，不论是什么人投掷，当试验次数逐渐增多时，“正面朝上”的频率越来越明显地稳定并接近于0.5．这个数值反映了出现“正面朝上”的可能性大小．因此，用0.5作为投掷硬币“正面朝上”的概率．

表7-1(www.xing528.com)

在实际问题中，对某一试验进行无限多次往往是做不到的，因此常用频率来近似地代替概率，如射手的命中率、种子的发芽率、产品合格率等．

2．概率的古典定义

应用直观分析的方法求概率时，要求随机试验应具有以下两个特点：

（1）每次试验只有有限个可能的试验结果；

（2）每个试验结果出现的可能性是相同的．

在概率论中，把具有上述特征的随机试验称为古典概型．关于古典概型，概率可定义为：

3．概率的性质

性质1 对任何事件A，有0≤P(A)≤1．

性质2 必然事件的概率是1，P(Ω)=1．

性质3 不可能事件的概率是0，P(∅)=0．

例5 在1到100中任意选一个数字的试验中，A={自然数}，B={7的倍数}，C={0}．求：P(A)，P(B)，P(C)．

例6 为了估计一个大型渔场中鱼的尾数，常使用以下方法：先从渔场中捕出一定数量的鱼，做上记号后放回水中，经过适当时间，让其充分混合，再从渔场中捕出一定数量的鱼，查看有记号的鱼所占的比例，从而估计渔场中鱼的尾数．如果第一次捕出1000尾，做上记号放回水中，第二次捕出1600尾，其中有记号的鱼有8尾，估计该渔场中鱼的尾数．

解 设A={有记号的鱼}，n表示渔场中鱼的尾数．假定每尾被捕到的可能性是相等的，则由古典概率计算公式，得

第二次捕出1600尾鱼中，有记号的鱼有8尾．由概率的统计定义，得

所以

解方程，得n≈200 000（尾）．

即该渔场中大约有200 000尾鱼．

习题7.1

1．写出下列随机试验的样本空间：

（1）将一枚硬币连掷三次，观察正面、反面出现的情形；

（2）将一枚硬币连掷三次，观察出现正面的次数；

（3）袋中装有编号为1、2和3的三个球，随机地取两个，考察这两个球的编号；

（4）袋中装有编号为1、2和3的三个球，随机地取两次，每次取一个，不放回，考察这两个球的编号；

（5）掷甲、乙两颗骰子，观察出现的点数之和．

2．设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C表示下列事件：

（1）只有A发生；（2）只有A不发生；（3）至少有一个发生；（4）恰有一个发生；（5）没有一个发生；（6）至少有两个不发生；（7）至多有两个发生；（8）至多有三个发生．

3．有一批产品共10件，其中8件合格，2件不合格，从中任取两件，求：

（1）恰取到一件次品的概率；（2）至少取到一件次品的概率．

4．设Ω={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，5}，则下列事件分别表示什么?

5．同时掷两枚质地均匀的硬币，求：

（1）两枚都是正面朝上的概率；

（2）一枚正面朝上，另一枚反面朝上的概率．

6．一口袋中有5个红球和2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，再任取一球．每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率；

（3）两次取到的球为红、白各一个的概率；

（4）第二次取到红球的概率．

7．一部五卷的书，按任意的顺序（即随机地）排放到书架上，求各册自左至右或自右至左的顺序恰好是1、2、3、4、5的概率．

8．10把钥匙中有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率．