代数研究的中心问题之一是解方程组，其中最简单的便是解线性方程组．许多复杂的问题可以简化或者归结为线性方程组的问题．本节讨论线性方程组是否有解，有多少解及怎样求解的问题．
一、用高斯消元法解线性方程组
引例 用消元法解线性方程组
将方程组的第一个方程的(-2)倍和(-1)倍分别加到第二个方程和第三个方程上，得到同解方程组
将上面方程组的第二个方程的5倍加到第三个方程上，得同解方程组
从最后一个方程得到x3=-3，将其代入第二个方程可得到x2=2，再将x2，x3同时代入第一个方程得到x1=11，从而所求方程组的解为
由此可以看出，对方程组进行同解变换，只是使方程组的系数及右端常数项发生改变，而未知数记号并未改变，这相当于对该方程组的系数与右端常数项按对应位置构成的矩阵作初等行变换．
因此，在用消元法解方程组时，不必写出未知数记号，只需写出增广矩阵，这个增广矩阵就代表方程组，而求解的过程就可以表示为对增广矩阵施行一些初等行变换．上述求解过程可写为下面形式：
至此已将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，继续对其施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵，有
最后一个矩阵对应的方程组为
即为原方程组的解．
再看下面两个例子．
解 对方程组的增广矩阵作初等行变换
于是得到原方程组的同解方程组
即
由此看出，只要x2取定一个值，就可唯一地确定出对应的x1和x3的值，从而得到原方程组的一组解．由于x2可以取任意值，所以原方程组有无穷多组解，这时x2称为自由未知量．
若令x2取任意常数c，则方程组的解为
这种解的表达式称为线性方程组的一般解．
解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，有
于是原方程组化为
第三个方程显然是矛盾的，也就是说这个方程组无解．
二、线性方程组解的判定
引例中的方程组有唯一解，此时增广矩阵的秩和系数矩阵的秩都为3，即
例1中的方程组有无穷多组解，此时增广矩阵的秩和系数矩阵的秩都为2，即
从上面几个例子可以得出线性方程组有解的一般性结论．
定理（线性方程组解的判定定理） 线性方程组
其中
特别地，对于齐次线性方程组
有
推论 齐次线性方程组（6-3）总有解，且
一般地，求解线性方程组可以按以下步骤进行.
第二步：如果有解，用初等行变换将行阶梯形矩阵进一步化为行最简阶梯形矩阵，由行最简阶梯形矩阵相应地写出方程组的解．
例3 某工厂有1000小时用于生产、维修和检验，各工序的工作时间分别为P，M，I，且满足P+M+I=1000，P=I-100，P+I=M +100，问各工序所用时间分别是多少？
解 由题意得
该方程组的增广矩阵为
对增广矩阵施行初等行变换，将其化为行最简阶梯形矩阵
得原方程组的同解方程组
即为线性方程组的解．因此，各工序所用时间分别为：225小时、450小时、325小时．
解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，有
对于线性方程组有无穷多组解的情况，由于自由未知量的选择不唯一，因此无穷多组解的表达式也不是唯一的．
解 对系数矩阵作初等行变换，有
令x4=c，于是所求方程组的一般解为
习题6.5
1．填空题:
2．确定m，a和b的值，使下列方程组有解：
3．解下列线性方程组：
4．现有三种化肥，其成分如表6-6所示．
表6-6
要得到200kg含钾12%，氮25%，磷63%的化肥，需要以上三种化肥的量各是多少千克？
5．一位营养师想组合4种食物使得一餐含有78单位的维生素A，67单位的维生素B，146单位的维生素C，153单位的维生素D，每种食物每千克的维生素含量如表6-7所示．
表6-7
续表
问营养师的想法是否可行？
综合练习六
一、填空题
二、选择题
2．设AB，均为n阶可逆方阵，且AXB=E，则X=（ ）．
A．B-1A-1 B．A-1B-1 C．A-1B D．BA-1
3．下列结论正确的是（ ）．
A．若AB，均为零矩阵，则有A=B
B．若AB=AC，且A≠O，则B=C
C．若A≠O，B≠O，则AB≠O
D．若A可逆，则(AT)-1=(A-1)T
A．k≠-3且k≠2 B．k=-3或k=2
C．k≠3且k≠-2 D．k=3或k=-2
则方程组的解中自由未知量的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4(www.xing528.com)
三、解答题
5．判断下列方阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵：
四、应用题
1．某公司销售A、B、C三种轿车，其售价分别为18万元、20万元和24万元，现这三种轿车共售出40辆，总收入为780万元，问A、B、C三种轿车各售出多少辆？
2．某工厂生产甲、乙、丙三种规格的机床，其价格和成本如表6-8所示．
表6-8
北京、上海与广东三地订购数量如表6-9所示．
表6-9
问各地订购三种机床的总价值各是多少？三种机床的总成本各是多少？三种机床的总利润各是多少？(用矩阵表示结果，并用矩阵运算得出结果.)
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