矩阵的初等变换是矩阵演变的一种重要手段，也是求解线性方程组的重要工具．
一、矩阵的初等变换
定义1 矩阵的以下三种变换称为矩阵的初等行变换：
（1）交换矩阵的某两行（交换i,j两行，记为ri↔rj ）；
（2）用一个非零常数去乘矩阵的某一行（第i行乘数k，记为kri）；
（3）用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上（第j行乘k后加到第i行，记为ri+krj ）．
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（相应记号中把r换成c），初等行变换和初等列变换统称为初等变换．这里我们主要运用矩阵的初等行变换．
矩阵A经过有限次初等变换后变为B，用
A→B
表示．
上式最后一个矩阵是一种特殊矩阵，依其形状称之为行阶梯形矩阵．
一般地，满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：
（1）若矩阵有零行（元素全部为零的行），零行全部在下方；
（2）各非零行的从左向右第一个不为零的元素（称为首非零元）的列标随着行标的增大而严格增大．
特别地，如果行阶梯形矩阵的各非零行的首非零元都是1，且首非零元所在列的其余元素都为零，则称之为行最简阶梯形矩阵，例如上面的矩阵C．
二、矩阵的秩
可以证明，任意一个矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，此时矩阵所含非零行的行数是唯一确定的，这个数实质上就是矩阵的“秩”．
定义2 矩阵A所对应的行阶梯形矩阵中不全为零的行数r称为矩阵A的秩，记作r(A)，即r(A)=r．
规定：零矩阵的秩为零，即r(O)=0．(www.xing528.com)
显然例1中矩阵的秩为3．
三、用初等变换求矩阵的秩
定理 矩阵A经过初等变换变为矩阵B，矩阵的秩不变，即r(A)=r(B)．
根据这个定理，我们得到利用初等行变换求矩阵的秩的方法：将矩阵A用初等行变换变为一个容易求秩的行阶梯形矩阵B，从而得到矩阵A的秩．
解 因为
所以r(A)=r(B)=2．
解 因为
所以r(A)=3．
注：本教材只介绍利用初等行变换求得矩阵的的秩，实际上也可以用初等列变换求得矩阵的秩，也可以既用初等行变换又用初等列变换求得矩阵的秩．后两种求法，有兴趣的读者可以参阅其他相关书籍．
习题6.3
1．指出下列哪些矩阵是行阶梯形矩阵，哪些是行最简阶梯形矩阵：
2．求下列各矩阵的秩：
3．对下列矩阵施行初等行变换，使之化为一个单位矩阵：
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