简明高数：幂级数及其性质

一、幂级数的概念

1．函数项级数的概念

表达式

当x在区间I内取某个特定值x0时，函数级数就成为常数级数

如果级数（5-2）收敛，则称点x0是函数级数（5-1）的收敛点；如果级数（5-2）发散，则称点x0是函数级数（5-1）的发散点．所有收敛点的集合称为级数（5-1）的收敛域．

在收敛域内，函数级数的和是x的函数，记为S(x)，并称S(x)为函数级数的和函数．即

例如，几何级数

2．幂级数的概念

形如

的函数项级数，称为x-x0的幂级数，其中常数a0，a1，a2，…，an，…称为幂级数的系数．

特别地，当x0=0时，（5-3）式变为

称为x的幂级数．如果作变换x-x0=t，则级数（5-3）就变为级数（5-4）．所以我们重点研究幂级数（5-4），先来研究其收敛域．

二、幂级数的收敛半径与收敛域

由于幂级数是任意项级数，我们把它的各项都取绝对值得到正项级数，由正项级数的敛散性可推得幂级数的敛散性．

将级数（5-4）的各项取绝对值，则得到正项级数

例1 求下列幂级数的收敛半径与收敛域．

解 （1）因为

所以收敛半径

对于端点x=1，级数成为交错级数

此级数是收敛的；

对于端点x=-1，级数成为

此级数是发散的．因此，此级数的收敛域为(-1,1]．

（2）因为

所以收敛半径R=+∞，收敛域为(-∞,+∞)．

（3）因为

所以收敛半径R =0，收敛域为{0}．

（4）所给幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数的标准形式，这时根据比值判别法判断其敛散性．(www.xing528.com)

三、幂级数的运算

根据性质1可得以下计算法则.

也就是说，在(-R,R)中两个收敛的幂级数的和（差）仍是幂级数，其和函数为两个幂级数的和（差）．

也就是说，在(-R,R)中两个收敛的幂级数的乘积也是一个幂级数，其和函数为两个幂级数的乘积．

也就是说，收敛的幂级数可以逐项微分，得到的仍是幂级数；其收敛半径不变，其和函数为原来幂级数的和函数的导数．

也就是说，收敛的幂级数可以逐项积分，得到的仍是幂级数；其收敛半径不变，其和函数为原来幂级数在对应区间上的积分．

在以后的运算中，经常要用到以下两个幂级数：

利用以上两个幂级数及幂级数的性质可以求一些幂级数的和函数．

两边对x求导，得

则

由S(0)=0，得C=S(0)-ln1=0，所以

S(x)=ln(1+x)

即

两边同时从0到x积分，得

两边再对x求导，得

即

习题5.3

1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域：

2．求下列幂级数的收敛半径R及在(-R,R)内的和函数：