简明高数：级数收敛与发散

级数求和常常是困难的，通常我们总是讨论其收敛性．如果是发散，不考虑求和；如果是收敛，则可以取足够多的项近似求和．因此，判断级数敛散性是研究级数的重要课题之一．对常数项级数，将分为正项级数、交错级数与任意项级数来讨论．

一、正项级数的敛散性

正项级数的比较审敛法可形象地记为：若大的收敛，则小的也收敛；若小的发散，则大的也发散．它的要点是：将要判断的级数与已知其敛散性的级数加以比较．

上面介绍了比较判别法，它的基本思想是把某个已知敛散性的级数作为比较对象，通过比较对应项的大小，来判断给定级数的敛散性．但有时不易找到作比较的已知级数，这样就提出一个问题，能否从级数本身就判定级数的敛散性呢？在此我们介绍另一种级数敛散性的判别法：比值判别法．

（1）当q＜1时，级数收敛；

（2）当q＞1时，级数发散；

（3）当q=1时，比值判别法失效，换用其他判别方法．

证明从略．只作一个解释，有助读者理解此定理．

说明：如果正项级数的一般项中含有乘方或阶乘因式，可试用比值判别法．

例4 判断下列级数的敛散性．

解 （1）因为

（2）因为

二、任意项级数的敛散性

1．交错级数

形如(www.xing528.com)

的级数称为交错级数．

关于交错级数敛散性的判定有如下的判定定理.

定理4 （莱布尼兹定理）

由莱布尼兹定理知，它是收敛的．

2．绝对收敛与条件收敛

解 因为

习题5.2

1．用比较判别法判断下列级数的敛散性：

2．用比值判别法判断下列级数的敛散性：

3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？并说明原因：