无穷级数的概念与性质-《简明高等数学》书摘

我们知道，有限多个实数u1,u2,…,un 相加，其结果是一个实数，本章将讨论“无穷多个实数相加”可能出现的情况及其相关特性．

古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一根一尺长的木棍，每天截下一半，这样的过程可无限地进行下去．

我们考虑，将每天截下来的那一部分的长度相加，得到：

这就是一个“无穷多个数相加”的例子，从图5-1可以直观上看出它的和是1．下面研究这一类问题的概念和性质．

图5-1

一、无穷级数的概念

1.无穷级数的定义

其中un称为级数的第n项，也称一般项或通项.

下面是几个常用的数项级数的例子.

这样我们就得到了一个“无穷和式”，这个“无穷和式”就是一个无穷级数．

无穷级数是无穷多个数累加的结果，引例的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题．然而有限个数相加的和一定存在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些问题做出解答．

2.无穷级数的敛散性

例1 试讨论几何级数（又称为等比级数）

的收敛性．

图5-2

其证明从略．

解 注意到

因此，

所以该级数的和为

即

二、无穷级数的性质

1.无穷级数的基本性质

根据数列极限的有关性质可推得级数的基本性质（证明略）.

性质1说明，级数的每一项同乘一个不为零的常数，敛散性不变.

性质2说明，收敛级数可以逐项相加或逐项相减.

性质3 添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变，但对于收敛的级数其和要改变．

2.级数收敛的必要条件

习题5.1(www.xing528.com)

1.是非题：