形如
的方程，叫作二阶常系数线性微分方程，其中p,q是常数，f(x)是x的已知函数．
当f(x)≡0时，称
为与（4-20）对应的齐次方程．
例如，方程y′′-4y′-5y =0是二阶常系数线性齐次微分方程；而方程y′′-3y′+2y=cos x是二阶常系数线性非齐次微分方程．
二、二阶常系数线性齐次方程解的结构
定理1 如果函数y1与y2是方程（4-21）的两个解，则
也是方程（4-21）的解，其中C1,C2为任意常数．
证 因为y1与y2是方程（4-21）的两个解，所以有
将（4-22）式代入方程（4-21）的左端，得
所以（4-22）式是方程（4-21）的解．
这个定理表明了二阶常系数线性齐次微分方程的解具有叠加性．
叠加起来的解（4-22）从形式上看含有C1,C2两个任意常数，但它还不一定是方程（4-21）的通解．例如，y1=sin2x和y2=2sin2x 都是方程y′+4y=0的解，把y1与y2叠加为（4-22）式的形式
其中C=C1+2C2．由于只有一个独立的任意常数，所以它不是微分方程y′+4y=0的通解．
那么在什么情况下（4-22）式才是（4-21）式的通解呢?为了解决这个问题，下面给出函数线性相关和线性无关的定义.
例如，函数y1=sin2x和y2=2sin2x ，因为
所以y1=sin2x与y2=2sin2x 是线性相关的．
所以函数y1=sin2x与y2=cos2x是线性无关的．
定理2 如果函数y1与y2是方程（4-21）的两个线性无关的解，则
就是方程（4-21）的通解，其中C1,C2为任意常数．
因为y1=sin2x与y2=cos2x是方程y′+4y=0的线性无关的特解，所以y = C1sin2x+C2cos2x就是方程y′+4y=0的通解．
三、二阶常系数线性非齐次方程解的结构
我们在讨论一阶线性微分方程时，已经知道一阶非齐次线性微分方程的通解是由两部分组成的，一部分是非齐次方程本身的一个特解；另一部分是它所对应的齐次方程的通解．实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，二阶常系数线性非齐次微分方程的通解也有同样的结构．
的一个特解，Y是方程（4-24）所对应的齐次方程的通解，则
是二阶常系数线性非齐次微分方程（4-24）的通解．
又因为Y是方程（4-21）的通解，故有
四、二阶常系数线性齐次微分方程的解法
由定理2可知，对二阶常系数线性齐次微分方程y′+py′+qy =0，只需求出它的两个线性无关的特解y1，y2即可得到它的通解y=C1y1+C2y2．
方程y′+py′+qy =0的特点是：未知函数y与其一阶导数y′、二阶导数y′分别乘以常数后，可以合并为0，即y与y′，y′应为“同类项”．由导数公式可知，这类函数最简单的类型应为y=erx ，因此我们用这个式子来尝试，看能否选取适当的常数r，使y=erx满足方程（4-21）．
由y=erx得
y′=rerx ，y′=r2erx，
把y，y′和y′代入方程（4-21），得
(r2+pr+q)erx=0．
由于erx≠0，所以
由此可见，只要r 满足方程（4-25），函数y=erx就是微分方程（4-21）的解．我们把方程（4-25）叫作微分方程（4-21）的特征方程．它的根称为微分方程（4-21）的特征根．
按照特征根的三种不同情况，可以得到微分方程（4-21）的三种通解形式．
因为y1和y2是方程（4-21）的解，所以
例2 求微分方程y′+2y′+5y=0的通解．
解 微分方程的特征方程为
r2+2r+5=0，
特征根为 r1=-1+2i ，r2=-1-2i ，
所以方程的通解为 y=e-x (C1cos2x+C2sin2x)．
（3）当p2-4q=0时，特征方程有两个相等的实根r1=r2=r，这时我们只得到微分方程的一个特解
y1=erx ，
即 y2=uy1=uerx．
将y2求导，得
整理，得
由于r是特征方程的二重根，所以有
于是得 u′=0．
这说明所设特解y2中的函数u(x)要满足u′=0．显然u=x是可选取的最简单的一个函数，由此可得方程（4-21）的另一个特解．
所以微分方程（4-21）的通解为
例3 求微分方程y′+4y′+4y =0的通解．
解 微分方程的特征方程为
特征根为
所以微分方程的通解为
归纳以上讨论，得到求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解的步骤如下：
第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr+q=0；
第二步 求出特征方程的根r1与r2；
第三步 按r1、r2的三种不同情况，按下表写出微分方程的通解．
*五、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
1．f(x)=Pn (x)eλx (其中Pn(x)为x的n次多项式，λ为常数)
当f(x)=Pn (x)eλx时，微分方程为
当λ2+pλ+q ≠0时(即λ不是特征方程的根时)，Qm(x)应是一个n次多项式，即
m=n．
当λ2+pλ+q =0而2λ+p≠0时(即λ是特征方程的根但不是重根时)，Qm(x)应是一个n+1次多项式，即
m=n+1．
当λ2+pλ+q =0而且2λ+p=0时(即λ是特征方程的重根时)，Qm(x)应是一个n+2次多项式，即
m=n+2．
综合上述，方程（4-26）的解具有形式
其中Qn(x)是一个与Pn(x)有相同次数的多项式；k是一个整数，且满足：
（1）当λ不是特征根时，k=0；
（2）当λ是特征根，但不是重根时，k=1；
（3）当λ是特征根且为重根时，k=2．
例4 求方程y′′-5y′+6y =ex的一个特解．
解 Pn(x)=1可以看成是一个零次多项式(n=0)；λ=1不是特征根，因此k=0．所以设该方程的特解为
2Aex=ex ，
化简，得
比较等式两边的系数，得
故
是原方程的一个特解．
解 该方程对应的齐次方程是(www.xing528.com)
特征方程为
特征根为
齐次方程y′-y=0的通解为
原方程中f(x)=4xex，其中Pn(x)是一个一次多项式，λ=1是特征方程的单根．因此k=1，所以设原方程的特解为
2A+2B+4Ax=4x ，
比较两边同类项系数得A=1，B=1-，因此原方程的特解为
于是原方程的通解为
解之得
C1=1，C2=-1．
因此原方程满足初值条件的特解为
2．f(x)=eαx (acosβx+bsinβx)(其中α,β,a,b 均为常数)
当f(x)=eαx (acosβx+bsinβx)时，微分方程为
我们知道，这种类型的函数的导数，仍属同一类型，因此方程（4-27）的特解也应属于同一类型．可以证明方程（4-27）的特解的形式为
其中A和B是待定常数，k是一个整数．
（1）当α±iβ不是特征根时，k=0；
（2）当α±iβ是特征根时，k=1．
例6 求微分方程y′-4y′+8y=exsinx 的一个特解．
解 这里f(x)=exsinx ，其中α=1，β=1，α±iβ=1±i ，不是特征方程的特征根，所以可设原方程的特解为
比较上式两端同类项的系数，得
现将解二阶常系数线性非齐次微分方程
的步骤归纳如下.
第一步：求y′′+py′+qy =0通解Y.
习题4.4
1．求下列微分方程的通解：
（1）y′′-4y′+3y =0； （2）4y′′+4y′+y =0；
（3）y′-3y′-4y =0； （4）y′-4y′+5y =0；
（5）y′-4y′=0； （6）y′+y=0．
2．已知特征方程的根为下面的形式，试写出相应的二阶齐次微分方程：
（1）r1=2，r2=-1； （2）r1=r2=2；
（3）r1=-1+i ；r2=-1-i ．
3．在下表中填写微分方程所对应的特解形式：
4．一质点运动的加速度为a=-2v-5s ．如果该质点以初速度v0=12m/s 由原点出发，试求质点的运动方程．
5．一弹簧悬挂有质量为2 kg的物体时，弹簧伸长了0.098 m，阻尼系数为μ．当弹簧受到强迫力f =100sin10t N的作用后，物体产生了振动，求振动规律．(设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零， μ=24N·s/m.)
综合练习四
一、选择题
1．下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．
2．下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为( )．
A．(y′)2+y′=x B．(y′)2+2y=0
C．y′y′=2y D．y′+3x2y=x
3．方程y′-2y=0的通解是( )．
A．y=Csin2x B．y=Ce-2x
C．y=Ce2x D．y=Cex
4．方程(1-x2)y-xy′=0的通解是( )．
5．y1=e3x ，y2=xe3x ，则它们满足的微分方程是( )．
A．y′-6y′+9y =0 B．y′+6y′=0
C．y′-9y=0 D．y′′+6y′+9y =0
6．方程y′+2y′+y=e-x 的一个特解具有形式( )．
A．y=ae-x B．y=axe-x
C．y=ax2e-x D．y=(ax+b)e-x
7．方程y′′+2y′+5y=sin2x 的一个特解具有形式( )．
A．y=x(asin2x)B．y=asin2x
C．y=x(asin2x+bcos2x) D．y=asin2x+bcos2x
8．方程y′-6y′+9y=x2e3x的一个特解具有形式( )．
A．y=ax2e3x B．y=(ax2+bx+c)e3x
C．y=x(ax2+bx+c)e3x D．y=x2(ax2+bx+c)e3x
二、填空题
三、解答题
1．求下列微分方程的通解：
2．求下列微分方程的特解：
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