简明高数：二阶微分方程可降阶

对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，求解一阶微分方程后，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解．

一、y′=f(x)型

这是最简单的二阶微分方程，求解方法是逐次积分．

对方程y′=f(x)两端积分，得

再次积分，得

注：这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程

只要连续积分n次就可得这个方程的含有n个任意常数的通解．

例1 求方程 y′=e2x -cosx 满足y(0)=0，y′(0)=1的特解．

解 对所给的方程连续积分两次，得

*二、y′=f(x,y′)型

这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是：令y′=p(x)，则y′=p′(x)，原方程化为以p(x)为未知函数的一阶微分方程

p′=f(x,p)．

设其通解为

p=φ(x,C1)，

然后再根据关系式，又得到一个一阶微分方程

对它进行积分，即可得到原方程的通解

即

两边积分，得

即

再次积分得原方程的通解为

*三、y′=f(y,y′)型(www.xing528.com)

这种方程的特点是不显含未知函数x，求解的方法是：把y暂时看作自变量，并作变换y′=p(y)，于是，由复合函数的求导法则有

这样就将原方程化为

这是一个关于变量y,p的一阶微分方程．设它的通解为

这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解．

例3 求方程yy′-y′2=0的通解．

在y≠0,p≠0时，约去p并分离变量，得

两边积分，得

即

注：上述通解实际上也包含了p=0（即C1=0的情形）和y=0（即C2=0的情形）这两个平凡解．

习题4.3

1． 求y′=e3x+3x 的通解.

*3．求下列微分方程的通解：

（1）y′=1+y′2； （2）y′=y′+x .