简明高等数学|可分离变量的微分方程及引例分析

一、可分离变量的微分方程

我们先看下面两个例子.

引例2 如果曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为横坐标与纵坐标之比，则该曲线方程是什么呢？

根据导数的几何意义，可以得到方程

该方程可以变形为xdx=ydy，该方程的特点是变量x和y已经分离在等式的两边．

上面两个例子建立的微分方程叫作可分离变量的微分方程．一般形式为

其特点是方程的右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积．

接下来研究可分离变量的微分方程的求解方法，具体解法步骤如下：

（1）分离变量.

当 g(y)≠0时，方程变形为

（2）两边积分，得

（3）求出积分，得通解

记C=±eC1，则得到题设方程的通解

例2 求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy 的通解．

解 先合并dx和dy的各项，得

分离变量，得

两端积分

得

于是

则得到题设方程的通解

例3 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律．又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

其中k＞0是常数，初值条件为H(0)=37.

（2）求通解，分离变量，得

两边积分，得

（3）求特解．

把初值条件H(0)=37代入通解，求得C=17．于是H =20+17e-kt.为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有

求得k≈0.063．于是温度函数为

把H=30代入上式，可得t≈8.4(h).于是可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时，即8小时24分，所以谋杀是在上午7点36分发生的.

二、一阶线性微分方程

我们再看下面的例子.

引例3 如果某曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y，那么它的方程又会是什么呢？

由导数的几何意义得到等式

该方程不能够分离变量，它的特点是方程中含有y′与y，它们的幂次均为一次．像这样的方程我们给出如下定义.

形如

的方程称为一阶线性微分方程．方程中含有y′与y．它们的幂次均为一次，其中函数P(x)、Q(x)是某一区间I上的连续函数．当Q(x)恒等于零时，方程（4-12）称为一阶线性齐次微分方程；当Q(x)不恒等于零时，方程（4-12）称为一阶线性非齐次微分方程．

1．一阶线性齐次微分方程的解法

在方程（4-12）中，若Q(x)=0，则

是可分离变量的微分方程，分离变量，得

两边积分，得

即

这是齐次方程（4-13）的通解.

注意 这里记号∫P(x)dx表示P(x)的一个确定的原函数．

2．一阶线性非齐次微分方程的解法(www.xing528.com)

如果仍按齐次方程的求解方法求解，那么由（4-12）式可得

两边积分，得

即

即方程（4-12）的解是将其相应的齐次方程的通解中任意常数C用一个待定的函数C(x)来代替．因此，只要求得函数C(x)，就可求得方程（4-12）的解．

将（4-16）式对x求导，得

将上式代入方程（4-12）有

即

或

两边积分，得

将上式代入（4-16）式，得

这就是一阶非齐次线性微分方程（4-12）的通解．其中各个不定积分都只表示对应的被积函数的一个原函数．

上述求非齐次方程通解的方法，是将对应的齐次方程的通解中的常数C用函数C(x)来代替．然后再求出这个待定的函数C(x)，这种求解微分方程的方法叫常数变易法．

公式（*）也可写成下面的形式:

齐次方程的通解 非齐次方程的特解

（4-17）式中第一项恰好是方程（4-12）所对应的齐次方程（4-13）的通解，第二项是非齐次方程（4-12）的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与它本身的一个特解之和．

下面对本小节开始时的引例3建立的微分方程进行求解．

y=Cex．

再设y=C(x)ex为原方程的通解，则y′=C′(x)ex +C(x)ex ，将它带入原方程，整理得

C′(x)=2xe-x ．

两边积分得 C(x)=-2e-x (x+1)+C ．

则得到原方程的通解为 y=Cex-2(x +1)．

解 注意到P(x)=1，Q(x)=e-x ．由一阶非齐次线性方程通解公式得

于是所求通解为

现将一阶微分方程的几种类型和解法归纳如下：

习题4.2

1.求下列微分方程的通解：

2.求下列各初值问题的解：

3.求下列一阶线性方程的解：

4.求下列微分方程满足初值条件的特解：

5.镭的放射速率与它当时的质量m成正比．由现有材料得知，镭经过1600年后，质量为初始质量0m的一半，求镭的质量m与时间t的关系．

6.质量1kg的质点受外力作用作直线运动，已知力与时间成正比，与质点运动的速度成反比，在t=10s时，速度等于50m/s，外力为4N．问从运动开始经过1min后，质点的速度是多少？

7.假设室温为20℃时，一物体由100℃冷却到60℃需20分钟．问共经过多长时间方可使此物体的温度从开始时的100℃降低到30℃?

8.已知一曲线过原点，它在任意点(x,y)处的切线斜率等于x+y，求此曲线方程．

9.某林区现有木材100 000 m3，如果在每一时刻木材的变化率与当时木材数成正比，假设10年内该林区能有木材200 000 m3，试确定木材数p与时间t的函数关系．