一、引例
例1 已知曲线过点(1,0)，且曲线上任一点M(x,y)处切线的斜率等于该点的横坐标加上1，求此曲线方程．
又曲线过点(1,0)，故有
对（4-1）式两边积分，得
将（4-2）式代入上式，得
所求曲线方程为
例2 列车在直线轨道上以30m/s的速度行驶，制动列车获得加速度-0.6m/s 2，问开始制动后要经过多长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？
解 记列车制动的时刻t=0，设列车运动方程为s=s(t)，由题意知，制动后列车行驶的加速度等于-0.6m/s 2，即
同时函数s=s(t)还应满足下列条件:
（4-3）式两端同时对t积分，得速度方程
（4-4）式两端对t再积分一次，得
速度方程为
因为列车刹住时速度为零，在（4-7）式中，令v(t)=-0.6t+30=0，得列车从开始制动到完全刹车所需要的时间为t=50(s)．
把t=50代入（4-6）式，得列车从制动到完全停止所行驶的路程s=750(m)．
二、微分方程的概念
上述两例所建立的方程中均含有未知函数的导数．它们都是微分方程．一般地，有如下的定义.
1．微分方程
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程叫作微分方程．
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，叫作微分方程的阶．
例如，例1中的微分方程是一阶微分方程，例2中的微分方程是二阶微分方程，ex y′+xy=是三阶微分方程．
3．微分方程的解、通解与特解
任何满足微分方程的函数都叫作微分方程的解．求微分方程解的过程叫作解微分方程．
微分方程的解主要有两种形式：①不含任意常数的解称为微分方程的特解．②如果微分方程的解中含有任意常数且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这样的解为微分方程的通解．所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（有个别例外）．
4．初值条件
通解中任意常数的取值常常是通过附加条件来确定的，这种附加条件在微分方程中称为初值条件或定解条件．(www.xing528.com)
例如，在例2中，初值条件为
一般来说，当自变量取定某个特定值时，给出未知函数及其导数的已知值，这种特定条件称为微分方程的初值条件．
设微分方程的未知函数为y=y(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初值条件是，当x=x0时，y=y0，记作
其中x0，y0都是已知值．
如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初值条件是，当x=x0时，y=y0，
例3 验证函数y=C1sin2x+C2cos2x 是微分方程
解 因为
所以
把（4-9）和（4-11）代入方程（4-8），有
即函数（4-9）满足方程（4-8）．又因为这个函数含有两个任意常数，因此它是方程（4-8）的通解．
习题4.1
1．指出下列方程中哪些是微分方程?并说明它们的阶数：
2．验证下列所给函数是指定微分方程的通解，并按照所给的初值条件确定方程的特解：
3．已知曲线过点(1,2)，且曲线上任一点P(x,y)处切线的斜率等于2x+1，求此曲线方程．
4．一物体的运动速度为3t(m/s)，当t=2s时，物体所经过的路程为9m，求此物体的运动方程．
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