曲线与直线的面积、旋转椭球体的体积、总成本函数

前面讨论的定积分的积分区间都是有限的，但在实际问题中，常会遇到积分区间为无限的情形．本节将介绍这类积分的概念和计算方法．

求由曲线y=e-x ，x轴及y轴所围成的“开口曲边梯形”的面积（见图3-21）．

图3-21

我们任取一个大于0的数b，那么在区间[0,b]上由曲线y=e-x 所围成的曲边梯形的面积为

很明显，当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，且随着b的趋于无穷而趋于一个确定的数1，即

显然，这个极限值1就是“开口曲边梯形的面积”，即

一般地，对于积分区间是无限的情形，给出下面的定义.

同样可以定义下限为负无穷大或上下限都是无穷大的反常积分．

例1 讨论下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值．

习题3.7

1．下列反常积分是否收敛？若收敛，求出它们的值．

2．在传染病流行期间人们被传染患病的速度可以近似地表示为r=1000te-0.5t （r的单位：人/天），t为传染病开始流行的天数，求共有多少人患病？

综合练习三

一、填空题

二、选择题

1．函数excosx是函数（ ）的原函数．

A．-exsinx B．ex(cosx-sinx)

C．exsinx D．ex(cosx+sinx)

2．若f(x)的一个原函数为lnx，则f′(x)=（ ） ．

3．下列各式中，计算正确的是（ ） ．

4．∫(sinx+2cosx)dx =（ ） ．

A．-cosx+2sinx+C B．-cosx-2sinx+C

C．cosx-2sinx+C D．cosx+2sinx+C

10．设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则下列各式中，不正确的是（ ） ．

三、计算题

1．求下列不定积分：

2．求下列定积分的值：

四、应用题

1．一曲线过原点且在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率等于x3，求这曲线的方程．

2．已知自由落体的运动速度为v(t)=gt，试求在时间区间[0,T]上物体下落的距离s．(www.xing528.com)

3．设导线在时刻t（单位：秒）的电流强度为i(t)=0.006t，求在时间间隔1～4 s内流过导线横截面的电量Q(t)（单位：库仑）．

4．某药物从病人的左手注射进入体内，t小时后该病人左手血液中所含该药物量为

问药物注射1小时内，该病人左手血液中所含药物量的平均值为多少？两小时内的平均值又为多少？

5．求曲线2 x=y与直线y=x所围平面图形的面积．

6．求由曲线y=sinx，y=cosx及直线x=0，x=π所围成的图形的面积．

8．求由曲线y=x2-4与直线y=0所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积．

9．设生产某产品的边际成本为C′(x)=2x +10（元/单位），且固定成本为20元，求总成本函数C(x)．

10.某产品的边际成本和边际收入分别为：C′(x)=x2-4x +6（元/单位），R′(x)=105-2x （元/单位），且固定成本为100元，求总成本函数C(x)和总收入函数R(x)．