定积分的应用-简明高等数学

一、定积分的元素法

通过本章第一节的学习，我们知道，求曲边梯形的面积S有四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限．在实际应用中可以把这些步骤简化为以下过程：在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]（见图3-10），区间[x,x+dx]上的小曲边梯形的面积ΔS用以f(x)为高、dx为底的小矩形面积f(x)dx近似代替，即

ΔS≈f(x)dx ．

式中SΔ的近似值f(x)dx为面积S的微元（或微分），记作

dS=f(x)dx ．

图3-10

一般地，若所求量Q与x的变化区间[a,b]有关，且关于区间[a,b]具有可加性，则在[a,b]的任意一个小区间[x,x+dx]上找出所求量Q的一微小量ΔQ的近似值dQ=f(x)dx ，然后把它作为被积表达式，从而得到所求量Q的积分表达式：

这种方法称为微元法（或元素法），dQ=f(x)dx 称为量Q的微元．

定积分的微元法是一种实用性很强的数学方法，在工程实践和科学技术中有着广泛的应用．下面举例说明如何应用这种方法．

二、定积分在几何上的应用

1．平面图形的面积

（1）由连续曲线y=f(x)（f(x)≥0）以及直线x=a，x=b和x轴所围成的曲边梯形面积为

（2）由上、下两条连续曲线y=f(x)，y=g(x)（g(x)≤f(x)）以及直线x=a，x=b所围成的图形（见图3-11）的面积微元为

dS=[f(x)-g(x)]dx ，

面积为

图3-11

（3）由连续曲线x=φ(y)（φ(y)≥0）以及直线y=c，y=d和y轴所围成的曲边梯形（见图3-12）的面积为

图3-12

（4）由左、右两条连续曲线x=φ(y)，x=ψ(y)（ψ(y)≤φ(y)）以及直线y=c，y=d所围成的图形（见图3-13）的面积微元为

dS=[φ(y)-ψ(y)]dy ，

面积为

图3-13

在求解实际问题的过程中，首先应比较准确地画出所求面积的平面图形，找出曲线与坐标轴或曲线之间的交点，再根据图形的特征确定积分变量及积分区间；找出面积微元，然后将微元在相应区间上积分．

例1 计算由曲线y=x2与直线y=2-x2所围图形的面积．

（2）在区间[-1,1]上，任取一小区间[x,x+dx]，对应的窄条面积近似于高为[(2-x2)-x2]，底为dx的小矩形的面积，从而得面积微元

（3）所求图形的面积为

图3-14

（3）所求图形的面积为

图3-15

2．旋转体的体积

定义 一个平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体叫作旋转体，这条直线叫作旋转轴，它的主要特点是垂直于旋转轴的平面截旋转体所得的截面都是圆．

大家比较熟悉的圆柱、圆锥、圆台，可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰旋转一周而成的立体（见图3-16），所以它们都是旋转体．我们在中学已经学习过它们的体积公式，现在我们来学习如何计算更一般的旋转体的体积．

图3-16

（1）平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.

如图3-17所示的旋转体是由连续曲线y=f(x)以及直线x=a，x=b和x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的．我们用定积分的微元法来计算这种旋转体的体积．

图3-17

取x为积分变量，积分区间为[a,b]，在[a,b]上任取一小区间[x,x+dx]，与它对应的小旋转体的体积近似于以f(x)为底面半径、dx为高的扁圆柱体的体积，即体积元素dV=π[f(x)]2dx ．以π[f(x)]2dx 为被积表达式，在[a,b]上作定积分，便得所求旋转体体积为

（2）平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积．

与（1）类似，由连续曲线x=φ(y)（φ(y)≥0）以及直线y=c，y=d和y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转，所得旋转体体积为

图3-18

图3-19

解 （1）取y为积分变量，积分区间为[0,1]．

（2）在区间[0,1]上任取一小区间[y,y+dy]，与它对应的薄片体积近似于以y2为半径，dy为高的小圆柱体积，从而得体积元素

dV=πy4dy．

（3）所求旋转体的体积V为

解 所围成的平面图形如图3-20所示.

（1）取y为积分变量，积分区间为[0,1]．

dV=π(4+4y2)dy ．

（3）所求旋转体的体积V为

图3-20

三、定积分在经济学上的应用

根据定积分与不定积分的关系，我们不难由边际收入、边际成本等边际函数，用定积分来确定其总收入和总成本．

1．总产量

设生产某产品的产量Q是时间t的函数

Q = Q (t)．

例5 设某产品的生产是连续进行的，总产量Q是时间t的函数，如果总产量的变化率为

求投产后从t=3到t=30这27天的总产量．

解 总产量Q(t)是变化率Q′(t)的原函数，故从t = 3到t = 30这27天的总产量为

2．总收入、总成本和总利润

设R′(q)，C′(q)和L′(q)分别是产量q的边际收入、边际成本和边际利润，0C为固定成本，则根据边际经济函数和定积分的定义，易得以下结论：

其中q为产量，R(q)，C(q)，L(q)分别是产量为q单位时的总收入、总成本和总利润．

解 因总收入函数是边际收入的原函数，所以总收入为

此时，平均收入为

生产该商品1000单位时的平均收入为

下面计算生产1000到2000单位该商品的平均收入，先计算产量从1000到2000单位的总收入，即

故此时平均收入为

易看出生产1000单位时的平均收入远比生产1000到2000单位时的平均收入高．

例7 已知生产某产品的边际成本是产量q的函数

试问当产量由2百件增加到7百件时，总成本增加了多少万元？

解 由上面讨论易知，当产量由2增加到7时，总成本增加的数额应是边际成本的定积分，即

例8 已知生产某产品的边际成本为

固定成本为100，又知需求函数为

问产量为多少时（假定产品可全部售出），获利最大？最大利润是多少？

解 由需求函数易得出

p=300-3q ．

从而总收入函数为

R(q)=p·q=q(300-3q)=300q-3q2．

于是利润函数的导数（即边际利润）为

L′(q)=R′(q)-C′(q)=(300q-3q2)′-(21.2+0.8q)

=300-6q -21.2-0.8q =278.8-6.8q．

令L′(q)=0，得q=41．

又L′(41)=-6.8＜0． 故产量为41单位时，利润最大，这时，最大利润为

即此时最大利润为5615.4．

习题3.6

1．求由下列各曲线所围成图形的面积：(www.xing528.com)

（1）y=sinx(0≤x ≤π)，y=0；

（2）y=x2-1，y=x+1；

（3）x=y2(y≥0)，y=1，x=4；

（4）y2=2x，y=x-4；

（5）y=x2,y=2x．

3．一窗户为由抛物线y=3-3x2与x轴所围成的图形，求它的面积．

4．求正弦曲线y=sinx(0≤x ≤π)与直线y=0所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积．

5．求曲线y=x2与直线y=1所围成的图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积．

6．某一机器零件是由曲线y=e-x ，x轴，x=0与x=1所围成的区域绕x轴旋转而成，求此零件的体积．

7．一个新销售代理商发现，他在第t个月销售的商品数量为2t+5，求该销售商第一年的销售总量．

8．一圆形城市中，离市中心越近，人口密度越大，而离中心越远，人口密度越小．设该城市半径为50km，距中心（单位：km）处的人口密度为1 000 000(50-r)．求这一城市的人口总数．

9．设导线在时刻t（单位：秒）的电流强度为i(t)=2sin t，试求在时间间隔2～4 秒内流过导线横截面的电量Q(t)（单位：A）．

10．在传染病流行期间人们被传染患病的速度可以近似地表示为r=1000te-0.5t （r的单位：人/天），t为传染病开始流行的天数．问

（1）什么时候人们患病速度最快？

（2）前10天共有多少人患病？

11．已知某产品在时刻t总产量的变化率为

f(t)=100+12t-0.6t 2（单位/小时）

求从t=2到t=4这两个小时的总产量．

12．已知生产某商品x单位时，边际收益函数为

13．已知某种商品每天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′(x)=0.4x +2（元/单位），求总成本函数C(x).若此种商品的销售单价为18元，并且该商品可全部售出，求总利润函数L(x)，并求每天生产多少单位时才能获得最大利润．

14．假设某产品的边际收入函数为

R′(q)=9-q （万元/万台），

边际成本函数为

其中产量q以万台为单位．

（1）试求当产量由4万台增加到5万台时利润的变化量；

（2）当产量为多大时，利润最大？

（3）已知固定成本为1万元，求总成本函数和利润函数．

15．某工厂生产一种产品，每天生产x(t)时的总成本为C(x)（单位：百元），已知它的边际成本为

C′(x)=100+6x-0.6x2

试求：产量由2 t增加到4 t时的总成本及平均成本．